5.3.1函数关系的建立同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.3 函数的应用
5.3.1 函数关系的建立
学习目标
1、会建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；2、通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程；3、初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物；
知识梳理
1、函数的解析式；2、分段函数；3、初等函数；
每日作业
一、选择题
1、一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2、某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
二、填空题
1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元．
2、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的
内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
3、等腰三角形周长为20。
(1)、若底边长为x，腰长为y，将y表示成x的函数为 ；
(2) 、若腰长为x，底边长为y，将y表示成x的函数 ；。
4、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年　　B．2019年 C．2020年 D．2021年
5、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)；如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，则票价与里程之间的函数解析式为 ；
6、函数是定义域为的奇函数，当时，，则函数的解析式=________________.(结果用分段函数表示)
7、设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，
要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，
∠ABC＝120°，则横截面的面积 y关于腰长x的函数为
8、如图所示，用长为1 m的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x(单位：m)，则此框架围成的面积y(单位：m2)与x的函数关系式为
三、解答题
1、某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
2、 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，
已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，
CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时
达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系；
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．
四、思考题
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位：exp)与游玩时间t(小时)满足关系式：E＝t2＋20t＋16a；
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.
(1)当a＝1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E＝f(t)，并求出游玩6小时的累积经验值；
(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H(t)；若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
【教师版】 5.3 函数的应用
5.3.1 函数关系的建立
学习目标
1、会建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；2、通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程；3、初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物；
知识梳理
1、函数的解析式；2、分段函数；3、初等函数；
每日作业
一、选择题
1、一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
解析：由梯形面积公式，得·y＝100，得2xy＝100，所以，y＝(x>0)；
答案：C；
2、某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损；
答案：B；
二、填空题
1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元．
解析：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶)，
则y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.
当x＝6.5时，y有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．
答案：11.5；
2、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的
内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400.
答案：20；
3、等腰三角形周长为20。
(1)、若底边长为x，腰长为y，将y表示成x的函数为 ；
(2) 、若腰长为x，底边长为y，将y表示成x的函数 ；。
解析：(1) 由x＋2y＝20，所以，y＝，又由20＝x＋2y＞x＋x＞0知x＜10；再由三角形边长，得x＞0，所以，0＜x＜10；
(2) 由2x＋y＝20，所以，y＝20－2x，，又由由20－2x＞0知x＜10，再由20＝2x＋y＜2x＋2x＜0知x＞5，所以，5＜x＜10；
答案：（1）；（2）；
4、某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年　　B．2019年 C．2020年 D．2021年
解析：方法1、设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，
所以，lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，
所以，2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞，
又因为n∈N*，∴n≥5，所以，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年；.
方法2、设2016年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，所以n≥4，
所以从2020年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
方法3、根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞，又≈＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元；
答案：2020；
5、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)；如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，则票价与里程之间的函数解析式为 ；
解析：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]，
由题意得函数的解析式如下：y＝
顺便附图说明：
6、函数是定义域为的奇函数，当时，，则函数的解析式=________________.(结果用分段函数表示)
6、答案：
7、设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，
要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，
∠ABC＝120°，则横截面的面积 y关于腰长x的函数为
解析：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，
即0所以AE＝DF＝，BE＝x，
y＝(BC＋AD)·BE＝
＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)
＝－＋a2，它的定义域为，
答案：；
8、如图所示，用长为1 m的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x(单位：m)，则此框架围成的面积y(单位：m2)与x的函数关系式为
解析：由题意可得，AB＝2x，的长为πx，于是AD＝，
所以，y＝2x·＋，即y＝－x2＋x.
由得0故所求的函数关系式为：y＝－x2＋x.
答案：y＝－x2＋x；
三、解答题
1、某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解析：(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
2、 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，
已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，
CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时
达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系；
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．
解析：　(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，
当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，
将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.
所以，当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4
得ah2＝－1，所以a＝－.
由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则f(5)＝－(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤.
达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，].
四、思考题
某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E(单位：exp)与游玩时间t(小时)满足关系式：E＝t2＋20t＋16a；
②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.
(1)当a＝1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E＝f(t)，并求出游玩6小时的累积经验值；
(2)该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H(t)；若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．
解析：（1） ，t＝6时，E(6)＝35
(2)0①　 a∈
②　 a∈
综上，a∈.
答案：(1) ，t＝6时，E(6)＝35
(2)a∈