数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系（共33张ppt）

(共33张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
问题2：类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？
两圆的交点个数
圆心距与两半径的关系
两圆方程的公共解个数
外离
相交
内含
外切
内切
新知1：圆与圆位置关系的判定
圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
两圆交点个数 0个 1个 2个 1个 0个
几何法：圆心距d与R±r的关系
代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负)
当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系
巩固：圆与圆位置关系的判定
外切或内切
巩固：圆与圆位置关系的判定
建
设
限
代
化
新知2：两圆的公共弦
1.公共弦的定义：两圆相交时两个交点的连线；
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
练习2.已知两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1)，且两圆圆心都在直线x－y+c=0上，,则m+c的值为　　　　　.
新知2：两圆的公共弦
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法2：两圆方程作差
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
新知2：两圆的公共弦
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法2：两圆方程作差
[注]①当两圆方程中二次项系数相同时,才能作差求解,否则应先化同系数.
②两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；
③两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
4.求两圆公共弦长：
法1：联立两圆方程求交点，求两点距离
法2：求公共弦所在直线方程+垂径定理
典例详解：圆与圆位置关系的判定及公共弦问题
典例详解：圆与圆位置关系的判定及公共弦问题
相交
综合巩固——公共弦问题
【结论】若圆的一条直径的端点分别是A(x ,y )，B(x ,y )，则此圆的方程是(x-x )(x-x )+(y-y1)(y-y )=0.
解：（2）直线PA，PB是圆Q的切线.
因为点A,B在圆 上，且PQ是直径，
所以PA⊥AQ，PB⊥BQ ，所以直线PA，PB是圆Q的切线.
（3）将两圆方程 ，
相减，得6x+5y-25=0，即直线AB的方程是6x+5y-25=0.
小结：两圆的公共弦问题
1.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
2.求两圆公共弦所在直线方程：两圆方程作差
①两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；
②两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；
3.求两圆公共弦长：
求公共弦所在直线方程+垂径定理
综合巩固——公共弦问题
练习2.两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0
公共弦长的最大值为(　C　) A．0 B．1 C．2 D．3
综合巩固——公共弦问题
练习3.(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( ABC )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
要点速览
圆系方程的结论及运用
两圆的公切线问题
圆上的点到定直线的距离为定值的点的个数
回顾：直线系方程
当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线
l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2.
(不包括直线2x-y+3=0)
(不包括直线x+3y-1=0)
问题：类比上述直线系方程的形式和推导过程，尝试写出过两圆交点的圆系方程.
新知3：圆系方程
当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线
l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2.
巩固应用：圆系方程
求圆心
求半径
巩固应用：圆系方程
P98-8.求圆心在x－y－4=0上，且过圆x2+y2+6x－4=0和圆x2+y2+6y－28=0的交点的圆的方程.
巩固应用：圆系方程
P98-7.求经过点M(2,－2)以及圆x2+y2－6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程.
[变式]求过直线x+2y－3=0与圆x2+y2－2x=0的交点，且圆心在y轴上的圆方程.
巩固应用：圆系方程
P98-8.求圆心在x－y－4=0上，且过圆x2+y2+6x－4=0和圆x2+y2+6y－28=0的交点的圆方程.
新知4：圆的相切问题
和两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线。
外公切线：两圆在公切线的同旁。
内公切线：两圆在公切线的两侧。
位置关系 图形 公切线条数
外离 4
外切 3
相交 2
内切 1
内含 0
练习1.圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(C)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练习2.平面直角坐标系中，点A(0,1)和点B(4,5)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线l的条数为( 4 )条
巩固运用：圆的相切问题
圆上的点到到定直线的距离为定值的点的个数
d=r+1：1个
0≤dr－1d>r+1：0个
d=r－1：3个
圆上的点到直线距离为a(a考虑圆心到直线距离d 与r ±a的关系
直线与圆的方程的应用
选择性必修第一册 第二章《直线和圆的方程》
实际运用
P93-例3.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度.
把点P2(–2, y)代入圆的方程，得y=3.86(负值舍去)
解：如图建立平面直角坐标系，圆心在y轴上。设圆心的坐标是C(0，b)，圆的半径是r，
则圆的方程为x2+(y–b)2=r2
∴支柱A2P2的长度为3.86米.
用坐标法解决问题的“三步曲”
1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素(如:点、直线、圆)，将平面几何问题转化为代数问题.
2、通过代数运算，解决代数问题
3、把代数运算结果“翻译”成几何结论
代数
几何
几何
建系
坐标法
实际运用
P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。
著名匠师李春设计建造，为石拱桥，又称安济桥，坐落在河北省赵县的洨河上。经过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和8次地震的考验，却安然无恙。
“券”小于半圆
“撞”空而不实
实际问题
抽象问题
建系
实际运用
P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。
实际问题
抽象问题
代数问题
析：圆心C在y轴上
建系
C
O
x
y
实际运用
P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。
实际问题
抽象问题
代数问题
建系
C
O
思考：现有一辆观光船，宽12m，水面以上高5m，这艘船能否从桥下通过？
x
y
实际运用
P94-例4.一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处，如果轮船沿直线返岗，那么它是否会有触礁危险？
O
x
y
解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图的平面直角坐标系，取10km为单位长度，
则港口所在点为B(0,3)，轮船所在点为A(4,0)，
则环岛暗礁所在圆形区域的边缘所在圆的方程为x2+y2=4，
∴轮船沿直线返岗不会有触礁危险.
THANKS