5.2.3函数的最值同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.2.3 函数的最值
学习目标
1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、会利用不等式性质与借助初等函数图像求函数的最大（小）值；3、会借助函数的单调性求最值；
知识梳理
1、函数的最大（小）值的定义；2、利用函数的单调性求最值；
每日作业
一、选择题
1、函数的值域是(　　)
A． B． C． D．
2、已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于(　　)
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题
1、已知函数，，若有最小值，则的最大值为
2、函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
3、若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是
4、函数在区间上的最大值________.
5、若函数在区间上的最小值为，则= .
6、若函数的定义域是，，则函数的值域为 ．
7、设y=f(x)为y＝－x＋6和y＝－x2＋4x＋6中较小者，则函数y=f(x)的最大值为________．
8、设函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是
三、解答题
已知函数；
（1）画出函数的图像并写出函数的单调区间；
（2）根据函数的图像求出函数的最小值．
2、已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数y=f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数y=f(x)的最大值和最小值．
四、思考题
请先阅读下面材料，然后回答问题．
对应问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．
所以当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
(2)试研究函数y＝的最值情况．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值的情况．
【教师版】 5.2.3 函数的最值
学习目标
1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、会利用不等式性质与借助初等函数图像求函数的最大（小）值；3、会借助函数的单调性求最值；
知识梳理
1、函数的最大（小）值的定义；2、利用函数的单调性求最值；
每日作业
一、选择题
1、函数的值域是(　　)
A． B． C． D．
解析：函数在单调递增，所以其最小值为2；
答案：B；
2、已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于(　　)
A． B．1 C．2 D．3
解析：因为函数f，故函数在区间上严格单调递增，在区间上严格单调递减，
若，则函数在区间上严格单调递增，
其最小值为，显然不合题意；
若，则函数在区间上严格单调递增,，在区间上严格单调递减，故函数的最大值为，而，
令，即，也就是，解得或 ，
又因为，所以，故选D；
答案：D；
二、填空题
1、已知函数，，若有最小值，则的最大值为
解析：由，所以在上单调递增,则，所以；
答案：1；
2、函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
解析：函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，
又因为x∈N*，所以当x＝1时，ymin＝2×12＋2＝4；
答案：4；
3、若函数y=ax+1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是
解析：由题意a≠0，当a>0时，有(2a+1)-(a+1)=2，解得a=2；当a<0时，有(a+1)-(2a+1)=2，解得a=-2，综上知a=±2；
答案：±2；
4、函数在区间上的最大值________.
解析：因为函数在为减函数，在为增函数，
又 ，，
又，即函数在区间上的最大值为3；
答案：3；
5、若函数在区间上的最小值为，则= .
解析：因为函数在区间上严格单调递减，所以，函数为：
，所以，；
答案：4；
6、若函数的定义域是，，则函数的值域为 ．
解析：函数在，上严格单调递增且最小值为，最大值为（2）．所以，其值域为，；
答案：，；
7、设y=f(x)为y＝－x＋6和y＝－x2＋4x＋6中较小者，则函数y=f(x)的最大值为________．
解析：在同一平面直角坐标系内，作出两函数的图像，
由图可知y=f(x)的图像是图中的实线部分，观察图像可知此函数的最大值为6.
答案：6
8、设函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是
解析：由题意，在区间上恒成立，即；
下面研究在区间上的最小值，
(1)当a<-1时，f(x)min=f(-1)=1+2a+2=3+2a；
(2)当a≥-1时，f(x)min=f(a)=2-a2，
故f(x)min=
由a≤f(x)min,得:
当a<-1时,有a≤3+2a,
即a≥-3,从而-3≤a<-1;
当a≥-1时,有a≤2-a2,
即a2+a-2≤0，(a-1)(a+2)≤0，故-2≤a≤1，从而-1≤a≤1.
综上，a的取值范围为[-3,1]；
答案：[-3,1]。
三、解答题
已知函数；
（1）画出函数的图像并写出函数的单调区间；
（2）根据函数的图像求出函数的最小值．
解析：（1）函数的图像如图所示．
由图像可知y=f(x)的严格单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间；
（2）由函数图像可知，函数的最小值为f(0)＝－1；.
2、已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数y=f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数y=f(x)的最大值和最小值．
解析：　(1) y=f(x)是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1因为3≤x10，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(2)由(1)知，y=f(x)在[3，5]上为严格增函数，
则fmax＝f(5)＝，fmin＝f(3)＝.
四、思考题
请先阅读下面材料，然后回答问题．
对应问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．
所以当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答．
(2)试研究函数y＝的最值情况．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)，试研究其最值的情况．
解析：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.
正确解答如下：
令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
当0＜u≤4时，≥，即f(x)≥；
当u＜0时，＜0，即f(x)＜0.
所以f(x)＜0或f(x)≥.
即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)因为x2＋x＋2＝＋≥，
所以0＜y≤，所以函数y＝的最大值为，没有最小值．
(3)对于函数f(x)＝(a＞0)．
令u＝ax2＋bx＋c，
①当Δ＞0时，u有最小值，umin＝＜0；
当≤u＜0时.≤，即f(x)≤；
当u＞0时，即f(x)＞0.
所以f(x)＞0或f(x)≤，即f(x)既无最大值，也无最小值．
②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f(x)＝知u≠0，
所以u＞0，此时＞0，即f(x)＞0，f(x)既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，umin＝＞0，即u≥＞0.
所以0＜≤，即0＜f(x)≤，
所以当x＝－时，f(x)有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，f(x)既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，f(x)有最大值，此时x＝－，没有最小值．