5.2.2函数的单调性（2）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.2.2 函数的单调性（2）
学习目标
1、理解函数单调性的定义；2、会判断及证明函数的单调性；3、借助图像和定义求函数的单调区间；
知识梳理
1、函数单调性（包括：“严格增”、“严格减”、“增”、“减”、）；
2、函数的单调区间；
每日作业
一、选择题
1、已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是严格减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　)
A．严格减函数且f(0)<0 B．严格增函数且f(0)<0
C．严格减函数且f(0)>0 D．严格增函数且f(0)>0
2、函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
二、填空题
1、设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的严格增函数，则实数a的取值范围是
2、已知函数f(x)＝是R上的严格增函数，则a的取值范围是________．
3、函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
4、已知定义在[1，4]上的函数y=f(x)是严格减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)>0的实数a的取值范围为 ．
5、已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3，若函数y=f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________
6、已知函数在上单调递增，则的取值范围是
7、已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为
8、若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取
值范围是
三、解答题
1、画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
2、（1）写出函数的单调区间及其图像的对称轴，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（2）写出函数的单调区间及其图像的对称轴，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（3）定义在上的函数的图像关于直线对称，的部分图像如图所示，请补全函数的图像，并写出其单调区间，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（4）由以上你发现了什么结论 (不需证明)
四、思考题
函数y=f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3。
【教师版】 5.2.2 函数的单调性（2）
学习目标
1、理解函数单调性的定义；2、会判断及证明函数的单调性；3、借助图像和定义求函数的单调区间；
知识梳理
1、函数单调性（包括：“严格增”、“严格减”、“增”、“减”、）；
2、函数的单调区间；
每日作业
一、选择题
1、已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是严格减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　　)
A．严格减函数且f(0)<0 B．严格增函数且f(0)<0
C．严格减函数且f(0)>0 D．严格增函数且f(0)>0
解析：因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是严格减函数，所以a<0，b<0，
所以f(x)＝严格bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A；
答案：A；
2、函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，又，
所以，为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，排除B；
当时，，
因为在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
答案：D；
二、填空题
1、设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的严格增函数，则实数a的取值范围是
解析：依题意，1－2a>0，解得a<；
答案：；
码上有课
2、已知函数f(x)＝是R上的严格增函数，则a的取值范围是________．
解析：[依题意，
解得－3≤a≤－2；
答案：；
3、函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
解析：由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，
答案：
4、已知定义在[1，4]上的函数y=f(x)是严格减函数，求满足不等式f(1－2a)－f(3－a)>0的实数a的取值范围为 ．
解析：由题意，可得f(1－2a)>f(3－a)．因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，
所以，解得－1≤a≤0，所以实数a的取值范围为[－1，0]．
答案：[－1，0]；
5、已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3，若函数y=f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________
解析：由f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3，
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，
即a≤－4；
答案：；
6、已知函数在上单调递增，则的取值范围是
解析：由得或，所以的定义域为
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以
答案：
7、已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为
解析：易知f(x)为增函数，又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)所以，mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，
即，所以，－2答案：；
8、若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取
值范围是
解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或.
解得或，
所以满足的的取值范围是，
答案：；
三、解答题
1、画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间．
解析：y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图像如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是严格增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是严格减函数．所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
解析：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图像如图所示：
由图像可知其单调递增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；
单调递减区间为(－∞，－1)，(1，3)．
2、（1）写出函数的单调区间及其图像的对称轴，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（2）写出函数的单调区间及其图像的对称轴，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（3）定义在上的函数的图像关于直线对称，的部分图像如图所示，请补全函数的图像，并写出其单调区间，观察：函数在图像对称轴两侧的单调性有什么特点
（4）由以上你发现了什么结论 (不需证明)
解析：(1)函数y=x2-2x的单调减区间是(-∞,1],单调增区间是[1,+∞);对称轴是直线x=1;在对称轴两侧的单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞);对称轴是y轴,即直线x=0;在对称轴两侧的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图像如下图所示.
函数y=f(x)的单调增区间是[-4,-1],[2,5];单调减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,单调性相反;区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧的对称区间内的单调性相反.
四、思考题
码上有课
函数y=f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3。
(1)证明：设x10，Δy=f(x2)-f(x1)，
由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.
因为，x10，所以，f(x2-x1)>1，
所以，f(x2-x1)-1>0，所以Δy>0；所以，f(x)是R上的严格增函数；
(2)解析：令a=b=2，则f(4)=f(2)+f(2)-1=5，所以，(2)=3，所以，原不等式可化为f(3m2-m-2)由(1)得3m2-m-2<2，所以，3m2-m-4<0，所以，(3m-4)(m+1)<0，解得-1所以，原不等式的解集为。