5.2.2函数的单调性（1）同步练习（含解析）

【学生版】 5.2.2 函数的单调性（1）
学习目标
1、理解函数单调性的定义；2、证明及判断函数的单调性；3、分析二次函数的单调性；
知识梳理
1、函数单调性（包括：“严格增”、“严格减”、“增”、“减”、）；
2、函数单调性的证明及判断；
每日作业
一、选择题
1、若函数f(x)在R上是严格减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)2、下列四个函数在(－∞，0)上为严格增函数的是(　　)
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①②　 B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题
1、已知函数y=f(x)在R上是严格增函数，则当x12、若y=f(x)在R上是严格增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．
3、设函数y=f(x)满足：对任意的x1,x2∈R，都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0，则f(-3)与f(-π)的大小关系是　　　　　
4、若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是严格减函数，则k的取值范围是________．
5、已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
6、已知函数y=f(x)为R上的单调减函数，若f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a＝________．
7、已知函数f(x)在R上是严格减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图像上的两点，那么不等式－28、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为_______
三、解答题
1、证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是严格增函数．
2、已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是严格增函数，求实数a的取值范围。
四、思考题
设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)；问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是严格减函数且在区间上是严格增函数？
【教师版】 5.2.2 函数的单调性（1）
学习目标
1、理解函数单调性的定义；2、证明及判断函数的单调性；3、分析二次函数的单调性；
知识梳理
1、函数单调性（包括：“严格增”、“严格减”、“增”、“减”、）；
2、函数单调性的证明及判断；
每日作业
一、选择题
1、若函数f(x)在R上是严格减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)解析：因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)答案：选D；
2、下列四个函数在(－∞，0)上为严格增函数的是(　　)
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①②　 B．②③ C．③④ D．①④
解析：①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为严格减函数；
②y＝＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；
③y＝－＝x(x＜0)在(－∞，0)上是严格增函数；
④y＝x＋＝x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是严格增函数；
答案：选C；
二、填空题
1、已知函数y=f(x)在R上是严格增函数，则当x1解析：根据增函数的定义知，f(x1)答案：f(x1)2、若y=f(x)在R上是严格增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．
解析：因为f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，所以x1>x2；
答案：x1>x2
3、设函数y=f(x)满足：对任意的x1,x2∈R，都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0，则f(-3)与f(-π)的大小关系是　　　　　
解析:由题意，知y=f(x)是R上的严格增函数，又因为-3>-π，所以 f(-3)>f(-π).
答案：f(-3)>f(-π)；
4、若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是严格减函数，则k的取值范围是________．
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
5、已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
解析：f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1，所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又y=f(x)在区间(－∞，4]上严格递减，则(－∞，4] (－∞，1－a]，
所以1－a≥4，解得a≤－3；
答案：；
6、已知函数y=f(x)为R上的单调减函数，若f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a＝________．
解析：由题意，f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a2＋2a－1＝3－a，所以a2＋3a－4＝0，所以a＝1或－4；
答案：－4或1。
7、已知函数f(x)在R上是严格减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图像上的两点，那么不等式－2解析：因为A(0，－2)，B(－3，2)在函数y＝f(x)的图像上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2答案：；
8、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为_______
解析：由题意，得解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，所以x－2＜1－x，
解得x＜.②，由①②得1≤x＜；答案：。
三、解答题
1、证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是严格增函数．
证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
2、已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是严格增函数，求实数a的取值范围。
解析：设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)；
四、思考题
设f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，F(x)＝g(x)－λf(x)；问是否存在实数λ，使F(x)在区间上是严格减函数且在区间上是严格增函数？
解析：假设存在这样的实数λ，则由f(x)＝x2＋1，g(x)＝f(f(x))，得g(x)＝(x2＋1)2＋1，
所以F(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ；
令t＝x2，则t＝x2在(－∞，0)上递减，且当x∈时，t＞；
当x∈时，0＜t＜.
故要使F(x)在上递减，在上递增，
则函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在上递增，在上递减，
所以函数φ(t)＝t2＋(2－λ)t＋2－λ的图像的对称轴t＝为t＝，即＝，则λ＝3；
故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F(x)在区间上是减函数且在区间上是增函数。