5.2.1函数的奇偶性（2）同步练习-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册（含答案）

【学生版】 5.2 函数的基本性质
5.2.1函数的奇偶性（2）
学习目标
1、了解函数奇偶性的定义；2、了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系；3、掌握判断函数奇偶性的方法及其应用；
知识梳理
1、奇函数与偶函数的定义；2、奇、偶函数的图像特征；3、奇、偶函数的判别与应用；
每日作业
一、选择题
1、若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f＝(　　)
A．1 B．3 C. D．
2、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
二、填空题
1、已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2，2a＋]上的偶函数，则5a＋3b＝
2、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
3、已知函数f(x)＝是奇函数，则实数b＝________．
4、已知函数y=f(x)的图像与函数y的图像关于原点对称，则解析式y=f(x)为 .
5、设函数y=f(x)对都满足，方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为____________.
6、已知y=f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，y=f(x)的表达式为 ．
7、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为
8、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 020)＝k，则f(－2 020)＝
三、解答题
1、判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
2、已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)；
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断y=f(x)的奇偶性，并证明你的结论。
四、思考题
已知y=f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝；
（1）试判断y=g(x)与y=h(x)的奇偶性；
（2）试判断y=g(x)，y=h(x)与y=f(x)的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
【教师版】 5.2 函数的基本性质
5.2.1函数的奇偶性（2）
学习目标
1、了解函数奇偶性的定义；2、了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系；3、掌握判断函数奇偶性的方法及其应用；
知识梳理
1、奇函数与偶函数的定义；2、奇、偶函数的图像特征；3、奇、偶函数的判别与应用；
每日作业
一、选择题
1、若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f＝(　　)
A．1 B．3 C. D．
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－a＋2a－2＝0，解得a＝2；又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1；于是f＝f(1)＝3；
答案：B。
2、设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；
对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故B项错误；
对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；
对于选项D，|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误．
答案：C；
二、填空题
1、已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2，2a＋]上的偶函数，则5a＋3b＝
解析：因为，f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，所以b＝0，又f(x)定义域为[3a－2,2a＋]，所以3a－2＋2a＋＝0，所以a＝.故5a＋3b＝；
答案：；
2、已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
2、解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，
解得a＝5.
答案：5
码上有课
3、已知函数f(x)＝是奇函数，则实数b＝________．
解析：法一(定义法)：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，
整理得＝－，所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，解得b＝0.
法二(赋值法)：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，
即＝－，解得b＝0；
法三(赋值法)：因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，所以f(0)＝0，即＝0，
解得b＝0；
答案：0；
4、已知函数y=f(x)的图像与函数y的图像关于原点对称，则解析式y=f(x)为 .
解析：法一、设是函数图象上的任意一点，它关于原点的对称点为，由题意在函数图象上，所以，
即，；
法二、由函数图像关于原点对称，则已知函数为奇函数，
则，所以，；答案：f(x)。
5、设函数y=f(x)对都满足，方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为____________.
解析：函数对都满足，即函数关于对称.
方程恰有6个不同的实数根，根据对称性知实数根两两相加为
这6个实根的和为18，故答案为：18；
答案：18；
6、已知y=f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，y=f(x)的表达式为 ．
解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以f(－x)＝(－x)|(－x)－2|，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|，
故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|；
答案：f(x)＝x|x＋2|
7、如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为
解析：由图知f(1)＝，f(2)＝，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)
＝－－＝－2；
答案：－2
8、已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 020)＝k，则f(－2 020)＝
解析：因为f(2 020)＝a·2 0203＋b·2 020＋1＝k，所以a·2 0203＋b·2 020＝k－1，则f(－2 020)＝a(－2 020)3＋b·(－2 020)＋1＝－[a·2 0203＋b·2 020]＋1＝2－k.
答案：2－k；
三、解答题
1、判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2)f(x)＝x2＋1；
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
解析：(1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．
(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.
又因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，
因此函数f(－x)＝－x＋1既不是偶函数也不是奇函数．
(4)因为函数的定义域为[－1,3]，而3∈[－1,3]，但－3 [－1,3]，所以函数f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数.
2、已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)；
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断y=f(x)的奇偶性，并证明你的结论。
解析：(1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，所以，f(0)＝0，
令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，所以，f(1)＝0；
(2) y=f(x)是奇函数．
证明：因为f(1)＝f[(－1)2]＝－f(－1)－f(－1)＝0，所以，f(－1)＝0，
令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
四、思考题
码上有课
已知y=f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝；
（1）试判断y=g(x)与y=h(x)的奇偶性；
（2）试判断y=g(x)，y=h(x)与y=f(x)的关系；
（3）由此你能猜想出什么样的结论？
解析：（1）因为g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，所以g(x)是偶函数，h(x)是奇函数；
（2）g(x)＋h(x)＝＋＝f(x)；
（3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和。