2.2 圆的对称性 课件(共55张PPT) 2023-2024学年苏科数学九年级上册

(共55张PPT)
2.2 圆的对称性
轮子绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，都与初始位置重合个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与原来的图形重合.
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，
操作与思考
1.在两张透明纸片上，分别画半径相等的⊙O和⊙O‘
2.在⊙O和⊙O'中，分别画相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'，连接AB、A'B'(如图2-9)
操作与思考
在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧
AB=A’B’
AB=A’B’
⌒
⌒
我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:
将图2-9中的两张纸片叠合在一起，使点O与点O'重合(如图2-10(1))，再将⊙O'绕点O旋转，使射线O'A'与射线OA重合。
因为∠A'O'B'=∠AOB，所以射线O'B'与射线OB重合。又因为O'A'=OA，O'B'=OB，所以点A'与点A重合，点B'与点B重合(如图2-10(2))
这样,A'B'与AB重合,A'B'与AB重合,即AB=AB AB =A'B'
上面的结论，在同圆中也成立
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
思考与探索
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗
这两个圆心角相等吗
为什么
如果圆心角所对的弦相等呢
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分
成360份，我们把1°的圆心
角所对的弧叫做1°的弧
一般地，n°的圆心角对着n°的弧
n°的弧对着n°的圆心角.
圆心角的度数与
它所对的弧的度数相等
例1
如图2-12，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗 为什么
解:∠ABC与∠BAC相等，在⊙O中，
∵∠AOC=∠BOC，
∴AC=BC
(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)
∴∠ABC=∠BAC
1如图，在⊙O中，AC=BD、∠AOB-50求∠COD的度数
解:∵AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC
∴AB=CD
∴∠AOB=∠COD.
又∵∠AOB=50°
∴∠COD=50°
2如图，在⊙O中，AB=AC,∠A-40°求∠ABC的度数。
解:∵AB=AC ∴AB-AC,
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=(180°-∠BAC).
又∵∠BAC=40°
∴∠ABC=70°
3.如图，在△ABC中，∠C-90°，∠B=28°以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求AD、DE的度数。
解:如图,连接 CD.
∵以点 C 为圆心,CA 为半径的圆交AB 于点D,..
∴CA=CD
∴∠A=∠ADC，
∵∠ACB=90°,∠B=28°
∴∠ADC=∠A=62°.
在△ADC 中，∠A+∠ADC+∠ACD=180°
∴∠ACD=56°
∴∠DCE=34°,
∴AD的度数为 56°,DE的度数为 34°.
在纸上画⊙O，把⊙O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合你发现了什么

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴
操作与思考
画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD,垂足为P(如图2-13)，在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧
AC=AD
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BC=BD
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⌒
PC=PD
我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想:
沿直径AB将图2-13中的ADB翻折因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以ADB与ACB重合。
又因为∠APD=∠APC=90°所以射线PD与射线PC重合(如图2-14)，于是点D与点C重合这样，这样PC=PD,AC=AD,BC=BD
以上结论还可以用下面的方法加以证实:
如图2-15，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，连接OC、OD.在△OCD中
∵OC=OD. OP⊥CD，
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD.
∠AOC=∠AOD.
∴BC=BD、AC=AD(同圆中，相等的圆心角所对的弧相等)
于是，我们得到如下定理:
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
例2
如图2-16，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。AC与BD相等吗 为什么
解:AC与BD相等
过点O作OP⊥AB，垂足为P
∵OP⊥AB.
例2
∴AP=BP,CP=DP(垂直于弦的直径平分弦)
∴AP-CP=BP-DP，
即AC=BD.
拓展与延伸
如图2-17，AB、CD是OO的两条弦AB//CD，AC与BD相等吗 为什么
1.如何确定圆形纸片的圆心 说说你的想法。
找两条不平行的弦,作其垂直平分线，交点即为圆心;或将圆形纸片对折,确定出圆的一条直径,用同样的方法再确定出圆的另一条直径,两条直径的交点即为圆形纸片的圆心.
2.(1)下列图形中，哪些是轴对称图形 哪些是中心对称图形 如果是轴对称图形，指出它的对称轴:如果是中心对称图形，指出它的对称中心
图①是轴对称图形,直径 CD 所在直线为对称轴;图②无对称性;图③是中心对称图形，圆心 O是对称中心;图④既是轴对称图形，又是中心对称图形,过点 O 且分别垂直于弦AB，AD 的直线是它的对称轴,圆心 O 是它的对称中心;图⑤既是轴对称图形,又是中心对称图形,过圆心 O的任意一条直线都是它的对称轴,圆心O 是它的对称中心
(2)当图O中的弦AB为直径(AB与CD互相垂直的条件不变)时，图形具有怎样的对称性
当图①中的弦AB 为直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变)时,它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(3)当图②中的点B在⊙O上运动到什么位置时，图形成为轴对称图形
当图②中的点 B 在⊙O 上运动到使弦AB 等于弦AC 时,图形成为轴对称图形.
*3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8,点P在AB上运动求OP的取值范围。
.解:如图所示,作 OCLAB 于点C,连接 OA
∵⊙O的直径为 10
∴OA=5.
∵AC=AB=4
∵⊙O的直径为 10
∴OA=5.
∵AC=AB=4
∴0C=
∴3≤OP≤5
习题2.2
1.画一个圆和圆的一些弦，使所画图形分别满足下列条件
(1)是中心对称图形，但不是轴对称图形;
(2)是轴对称图形，但不是中心对称图形
(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形
2.如图，点A、B、C、D在OO上，且AB=DC.AC与BD相等吗 为什么
解:AC与BD相等.
∵弧AB=弧DC
∴弧AB+弧BC=弧DC+弧BC
∴弧AC=弧BD,
∴AC=BD.
3.如图，OA、OB、⊙C是OO的半径，且AC=BC,D、E分别是OA、OB的中点。CD与CE 相等吗 为什么
解:CD与CE 相等.
∵AC=BC,
∴∠AOC=∠BOC
∵OA=OB,D,E 分别为OA,OB 的中点
∴OD=OE.
∵0C=0C, 又∴△COD≌△COE ∴CD=CE
4.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE //AB,CE为40°求∠AOC的度数，
解:如图,连接 OE.
∵OC=OE ∴∠C=∠E.
又因为弧CE的度数为 40°
∴∠C=∠E==70°
又∵CE//AB ∴∠AOC=∠C=70°.
*5.如图，在⊙O中，直径AB=10,弦CD⊥AB，垂足为E,OE=3。求弦CD的长.
如图,连接 OC.
解：如图,连接 OC.
∵CD⊥AB,OC=AB=5
∴CE=
=4.
∴CD=2CE=2×4=8.
*6.如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点.
解:如图,连接OP,过点 P 作弦
AB⊥OP,则P是AB 的中点.
*7.如图，AB、AC是过⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB=8，AC=6。求⊙O的半径，
解:如图,连接OA,过点O作OD⊥AC,垂足为点D,过点O作OE⊥AB,垂足为点 E.
∴CD=AD=AC=3,AE=BE=AB=4.
∵∠CAB=90°
∴四边形 DAEO 为矩形..
∴OD=AE=4.
在Rt△DOA 中,OA==5
∴⊙O 的半径为 5.
*8.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
解:如图,过点O作OP⊥AB 于点 P,交⊙O于点M,连接AO,则AP=BP=AB=300 mm. ∵OM⊥AB,AO=×650=325(mm),
∴OP==125
∴油的最大深度 PM=OM-OP =325-125=200(mm).
P
M