2.4 圆周角 课件(共65张PPT) 2023-2024学年苏科数学九年级上册

(共65张PPT)
2.4圆周角
观察与思考(教材第 53 页)
图2－22中的∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C有什么共同特征
∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C 的顶点都在⊙O上,并且角的两边都和⊙O相交，∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C的度数相等.
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图2－22∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都是⊙O中弧BC所对的圆周角
1在图2－23中，OB⊥OC，画弧BC所对的圆周角∠BAC.弧BC所对的圆周角可以画多少个 你所画的圆周角为多少度 试说明理由。
操作与思考
弧BC所对的圆周角可以画无数个
测量得∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都等于45°
△AOC是等腰直角三角形。
∠BAC=×90°=45°
操作与思考
2.在图2－24中，∠BOC=60°，画弧BC所对的圆周角∠BAC.你所画的圆周角为多少度
为什么
你还有什么发现
图中，△AOC是等腰三角形，∠BAC=∠BOC=×60°=30°
猜想：∠BAC、∠BA1C、∠BA2C……都等于∠BOC
于是，我们得到如下定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等
因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
例1
如图2－27，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC为70°。求∠ABD、∠AED的度数。
解:在⊙O中，
∵∠AOD=150°
∴∠ABD=75°(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).
∵BC为70，
∴∠BDC=35°(圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半)
又∵∠ABD= ∠AED＋∠BDC，
∴∠AED=∠ABD－∠BDC=75°－35°=40°
1.下列各图中的角是否是圆周角 为什么
2.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC=35°.求∠BDC、∠BOC的度数。
.解:在O0中,·/BAC=35°,../BDC=/BAC=35°,/BOC=2/BAC=2X35°-70°
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ACB=∠BDC=60°.BC=3，求△ABC的周长。
解:∵∠BDC=60°
∴∠A=/BDC=60°.
又∵∠ACB=60°
∴△ABC 是等边三角形
∴AB=AC=BC=3. ABC 的周长是 9.
思考与探索
1在图2－28中，BC是OO的直径，圆周角/BAC为多少度 为什么
∠BAC=∠BOC
=x180°=90°
思考与探索
2.在图2－29中，圆周角∠BAC=90°若连接BC，则BC过圆心O吗 为什么
思考与探索
由∠BAC=90°，可知∠BOC=180°，BC是⊙O的直径.
直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径
例2
如图2－30，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°,∠ADC=50°求∠CEB的度数。
解:连接DB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB－90°
(直径所对的圆周角是直角)
例2
∵∠ADC=50°，
∴∠EDB=∠ADB－∠ADC=90°－50°=40°
又∵∠ABD=∠ACD=60° (同弧所对的圆周角相等)，
∴∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°
例3
如图2－31，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE=弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G.判断△FAG的形状，并说明理由.
解:△FAG是等腰三角形.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是直角)
例3
∴∠ABE+∠AGB=90°
∵AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=90°
又∵AE=AB.
∴∠ABE=∠ACB
(等孤所对的圆周角相等)
例3
∴∠DAC =∠AGB
∴△FAG是等腰三角形
拓展与延伸
在例3中，若点E与点A在直径延伸 BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变(如图2－32)，例3中的结论还成立吗
拓展与延伸
例3 中的结论还成立
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC=90°.
∴∠ ABG+∠G=90°.
又∵ AD⊥BC， ∴∠ ADC=90°.
∴∠ ACB+∠ CAF=90°
拓展与延伸
∵ 弧AE=弧AB，∴∠ ABG=∠ ACB
∴∠G=∠CAF ∴FG=FA.
∴△FAG 为等腰三角形.
1.利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，为什么 你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗
解:因为“90°的圆周角所对的弦是直径”,
所以,由C=90°,可知 AB 是圆的直径.
方法:把一个直角三角板的直角顶点放在圆周上,两直角边与圆分别有交点,连接两交点即是直径,然后改变位置再作一条直径,两直径的交点即是圆心.
2.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE//AB，弧BD与弧BE相等吗 为什么
解:弧BD=弧BE.
连接 DE,交AB 于点 F(图略).
∵CD 是⊙ O 的直径
∴∠CED=90°
又∵ CE//AB， ∴∠ OFD=∠CED=90°
即AB⊥DE.
又∵ AB 是OO的直径，∴弧BD=弧BE
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长.
解:连接 CD(图略).
∵AD 是⊙O 的直径
∴ ∠ ACD=90°
又∵ ∠ ABC= ∠ DAC， ∠ ABC= ∠ ADC
∴ ∠ ADC= ∠ DAC, ∴ AC=CD.
在 Rt△ACD 中，根据勾股定理得
=.
AC=
外接圆
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆，如图2－33，四边形ABCD是OO的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
1.如图2－34，在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系
思考与探索
∠A=90°，∠C=90°，∠A与∠C互补
由∠A+∠C=180°，可知∠ABC与∠ADC互补
2.如图2－35，若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，小明、小丽发现的结论是否仍然成立
作直径DE，可得∠BAE=∠BCE，这样∠DAB+∠DCB=∠DAE+∠DCE=180°
在图2－35中∠A的度数是弧BCD的度数的一半，∠C的度数是弧DAB的度数的一半，弧BCD与弧DAB的度数的和是360°，因此∠A+∠C=×360°=180°同样，∠B+∠D=180°
对角互补
于是，我们得到如下定理:
圆内接四边形的对角互补.
例4
如图2－36，在O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若点E在弧AD上，求∠E的度数。
解:连接BD。
∵四边形ABCD是OO的内接四边形
∴∠BAD十∠C=180(圆内接四边形的对角互补)
∴∠BAD=180°－∠C=180°－110°=70°
在△ABD中，
∵AB=AD，∠BAD =70°
∴∠ABD=∠ADB=×(180°－70°)=55°
又∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形
∴∠ABD+∠E=180°(圆内接四边形的对角互补)
∴∠E=180°－∠ABD
=180°－55°
=125°
1.圆的内接平行四边形是矩形吗 为什么
解:圆的内接平行四边形是矩形
∵平行四边形的对角相等,又圆内接四边形的对角互补，
∴每一个内角都是 90°.
∴圆的内接平行四边形是矩形
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，若∠D=100，求∠CBE的度数
解:∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠ABC=180°.
∵∠ABC+∠CBE=180°.
∴∠D=ZCBE.
∴∠D=100°∠CBE=100°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°求∠BOD的度数。
解:四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形
∴ ∠ A+ ∠ C=180°
∵∠ C=130° ∠ A=50°
∴∠BOD=2∠A=100°
习题2.4
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，图中有几对相等的圆周角 是哪几对
解:图中有 4 对相等的圆周角,分别是∠BAC= ∠ BDC， ∠ CBD=∠ CAD, ∠ ABD= ∠ ACD，
∠ ACB= ∠ ADB.
2.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AE为40°.求∠B+∠D的度数.
解:∵∠B=弧CDE度数的一半, ∠D =弧ABC度数的一半,弧CDE的度数+弧ABC的度数 =360°－弧AE的度数=360°－40°=320°
3.如图，点A、B、C在⊙O上，D是弧AB的中点，CD交OB 于点E，若∠AOB=100°∠OBC=55°。求∠OEC的度数。
解:∵∠AOB=100°∴弧AB的度数是 100°
又∵ D是弧AB的中点， ∴弧BD的度数是 50°
∴ ∠ BCD= ×50°=25°
又∵ ∠ OBC=55°，
∴ ∠ OEC= ∠ OBC+ ∠ BCD=55°+25°=80°
*4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，P是CD上一点(不与点C、D重合)。∠APC与∠APD相等吗 为什么
解:∠APC= ∠ APD.
∵AB 是⊙ O 的直径,CD⊥AB,。
∴弧AC=弧AD
∴ ∠ APC= ∠ APD.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°。求∠ABD的度数。
解:∵∠ DCB=30°
∴ ∠ DAB= ∠ DCB=30°
又∵AB 是⊙O 的直径
∴ ∠ ADB=90°
∴∠ABD=180° － ∠ADB － ∠DAB
=180° － 90°－30°
=60°
*6如图，AB是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AB于点C，若AB=10,求AC的长.
解:如图所示,连接 OC.
∵AO是小圆直径
∴∠ACO=90°∴OC⊥AB
∴ AC=AB=×10=5
7.如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E。CD与CE 相等吗 为什么
解:CD与CE 相等
如图所示,连接 BC
8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F，若连接EF，则EF与BC有怎样的位置关系 为什么
∵AB 是OO 的直径,
∴BC⊥AD.
又∵ AC=CD, ∴ BC 垂直平分AD.
∴ BA=BD, ∴ ∠BAD= ∠ BDA.
又∵ ∠ BAD= ∠ BEC ∴ ∠ BDA= ∠ BEC，
∴ CD=CE.
9.在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6.求四边形ABCD各内角的度数。
解:设∠ A, ∠ B, ∠ C 的度数分别为 3x,4x ,6x.由圆内接四边形的性质知,3x+6x=180°，解得 x=20°
∴ ∠ A=3x=60°, ∠ B=4x-80° ∠ C=6x=120°
∴ ∠ D=180°-80°=100°
10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD=60°∠ACB=70°.求∠BCD和∠ABD的度数。
解:在⊙ O的内接四边形ABCD 中
∵∠BAD=60°
∴∠BCD=180°－/BAD=180° － 60°=120°.
∵ ∠ ACB=70°
∴ ∠ ACD= ∠ BCD － ∠ ACB=120° － 70°=50°
∴ ∠ ABD= ∠ ACD=50°
11如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°弧AD=弧CD。求四边形ABCD各内角的度数。
∵AB 是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵ ∠ BAC=20°
∴ ∠ B=90° － ∠ BAC=90° － 20°=70°
∵四边形 ABCD 内接于半圆
∴ ∠ D=180° － ∠ B=180° － 70°=110
12.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE与∠DAC相等吗 为什么
解:∠DAE 与∠ DAC 相等
∵四边形ABCD 内接于⊙O
∴ ∠ DCB+ ∠ DAB=180°
又∵ ∠ DAB+ ∠ DAE=180°
∴ ∠ DCB= ∠ DAE