2.5 直线与圆的位置关系 课件(共98张PPT) 2023-2024学年苏科数学九年级上册

(共98张PPT)
直线与圆的位置关系
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山水相接的地方出现了一道红霞。过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，慢慢儿，一纵一纵地使劲儿向上升。到了最后它终于冲破了云霞，完全跳出了海面，
操作与思考
在纸上画一个圆，上、下移动直尺，如果将直尺的边缘看作一条直线，那么在移动直尺的过程中，直线与圆的位置关系发生了怎样的变化
这种位置的变化可以用数量之间的关系来描述吗
答案
按照教材中图形的变化顺序,直线与圆的位置关系分别为:有两个公共点、有一个公共点、没有公共点.因位置关系的变化而引起的数量关系的变化依次为:圆心到直线的距离小于半径、圆心到直线的距离等于半径、圆心到直线的距离大于半径.
OD⊥l，垂足为D，⊙O的半径为r
①中，直线l与⊙O有两个公共点，OD②中，直线1与⊙O有唯一公共点，OD=r
③中，直线1与⊙O没有公共点，OD>r
于是，我们得到如下结论:
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r
直线l与⊙O相离d>r
思考与探索(教材第 64 页)
点与圆有3种不同的位置关系，直线与圆也有3种不同的位置关系，这两者之间有怎样的联系
从图2-37中可以看出，直线l与⊙O的3种位置关系，实质上就是点D《垂足》与⊙O的3种位置关系
将“直线与圆的位置关系”转化为“点(圆心到直线的垂线段的垂足)与圆的位置关系”进行研究:
当点(垂足)在圆内时,直线与圆相交
当点(垂足)在圆上时,直线与圆相切
当点(垂足)在圆外时,直线与圆相离.
例1
在△ABC中，∠A=45°,AC=4.以点C为圆心，r为半径的圆与AB所在直线有怎样的位置关系
(1)r=2 (2)r= (3)r=3
例1答案
解:过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中
∵∠A=45°
∴∠ACD=∠A,CD – AD
又∵ ，AC = 4,
∴ =16, CD=
即圆心C到AB所在直线的距离d=
相离
(1)当r-2时,d>r，⊙C与AB所在直线相离
相切
(2)当r=2V2时d=r ⊙C与AB所在直线相切
相交
(3)当r-3时,d1.填表
直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 直线的名称 公共点名称 圆心到直线的距离d与半径r的关系
相交
相切
相离
2.已知⊙O的直径为8，圆心⊙O到直线1的距离为5，直线l与⊙O有怎样的位置关系 圆心O到直线l的距离为4或3呢
操作与思考
在图2-39中，经过⊙O的半径OD的外端点D，作直线l ⊥OD直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么
直线l与⊙O相切
于是，我们得到如下结论:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
思考与探索
如图2-41，直线1是⊙O的切线，切点为D，直线l与半径OD有怎样的位置关系 为什么
直线l与⊙O垂直
我们可以用反证法证明l⊥OD
假设直线l与OD不垂直，过圆心O作OD'⊥l，垂足为D'(如图2-42)
因为直线l与⊙O相切，所以圆心O到直线的l距离OD'等于⊙O的半径，点D'在⊙O上.这样，直线l与⊙O有两个公共点D、D'.这与“直线l与⊙O相切”矛盾，所以l⊥OD。
于是，我们得到如下结论:
圆的切线垂直于经过切点的半径
例题2
如图2-43，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
解:直线AD与⊙O相切，
∵AB是OO的直径，
∴∠ACB =90°
∴∠ABC+∠BAC =90°
又∵∠CAD= ∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°
即 AD⊥AB.
∴直线AD与⊙O相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).
例题3
如图2-44，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC 于点E。DE与AC有怎样的位置关系 为什么
解:DE与AC互相垂直.连接OD.
∵OD =OA，
∴∠ODA = ∠OAD.
又∵∠0AD= ∠CAD，
∴∠ODA = ∠CAD.
∴OD ∥ AC.
∵DE是⊙O的切线
∴DE⊥OD(圆的切线垂直于经过切点的半径),即∠ODE=90°.于是，∠DEA=90°，DE⊥AC.
1.如图，点P在⊙O上，过点P西⊙O的切线
2.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°,AB=AC，直线AC与⊙O有怎样的位置关系 为什么
*3，如图，在以点O为圆心的两个同心圈中，大圈的弦AB切小圆于点P。PA与PB相等吗 为什么
尝试与交流
要从一块三角形铁皮余料中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大
观察图2-45 可以发现，要使剪得的圆面积最大，这个圆应与三角形的各边都相切。
思考与探索
如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切
圆心到三角形的三边的距离相等.
圆心在三角形的内角平分线上.
已知△ABC。根据下列作法，用直尺和圆规作⊙ O，使它与△ ABC的各边都相切？
作 法 图形
1.分别作∠ABC、∠ACB 的平分线 BM、CN，BM与CN 的交点为0. 2.过点O，作OD⊥BC，垂足为 D 3.以点O为圆心，OD 为半径作⊙O. ⊙O就是所求作的圆.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，如图2-46，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形
例4
如图2-47，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 D、E、F,∠B=60°,∠C=70，求∠EDF的度数.
解:连接OE、OF.
在△ABC中，
∠A=180°-(∠B+∠C)
∠A=180°-(∠B+∠C)
=180°-(60°+70)
=50°
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AB⊥OF，AC⊥OE
(圈的切线垂直于经过切点的半径).
1.如图，点O是△ABC的内心，根据下列条件，求∠BOC的度数.
(1)∠ABC =50° ∠ACB=60°
(2)∠A=50°
2.如图，点C、D分别在射线OA、OB上，求作OP，使它与OA、OB、CD都相切.
①分别作∠AOB，∠DCO 的平分线,两平分线交于点 P1
②过点 P1，作 PE⊥OA,垂足为 E.
③以点 P1，为圆心,PE 为半径作OP1
④同理,得到⊙P2
⊙P1,⊙P2就是所求作的圆,如图所示.
尝试与交流
如图2-48，PA、PB是OO的切线，切点分别为A、BPA与PB相等吗
度量可知PA=PB
图2-48是轴对称图形，
PA与PB相等
我们可以用下面的方法证实小明、小丽的猜想:
在图2-48中，连接OA、OB、OP(如图2-49)，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB
(圈的切线垂直于
经过切点的半径).
即△POA、△POB 是直角三角形
又∵OA=OB.OP=OP
∴△POA≌△POB.
∴ PA=PB.
我们也可以运用图形运动的方法证实 PA=PB.
在图2-49中，由OA⊥PA，
OB⊥PB.OA=OB，可知点O在∠APB的平分线上
于是，把图2-49中的PB沿直线OP翻折，射线PB与射线PA重合(如图2-50)
因为过点O有且只有一条直线与PA(PB)垂直，所以OB与OA 重合即点 B与点A重合，PA=PB.
在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
于是，我们得到如下定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
例5
如图2-51，在以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB、AC分别与小圆相切于点D、E。AB与AC相等吗 为什么
解:AB与AC相等
连接OD、OE。
∵AB、AC是小圆的两条切线，切点分别为 D、E
∴AD=AE(过图外一点所画的图的两条切线长相等)
∴AB⊥OD，ACB⊥OE(圆的切线垂直于经过切点的半径)又∵AB、AC是大圆的弦，OD⊥AB，OE⊥AC.
∴AB=2AD，AC=2AE.
∴AB =AC.
拓展与延伸(教材第 72 页)
在图2-51中，如果连接 DE、BC，那么DE与BC 有怎样的关系 为什么
*1，如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D.若AB=5,AC=3,求 BD的长.
*2.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线OP交⊙O于点C、D，交AB 于点E，根据题设条件，你能得到哪些结论 为什么
习题 2.5
1.已知⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，直线l与⊙O有怎样的位置关系 圆心O到直线l的距离为5或8呢
∵⊙O的直径为 10,
∴⊙O的半径为 5.
当圆心 O 到直线l的距离为 3 时,直线l与O相交
当圆心 O 到直线l的距离为 5 时,直线l与O相切;
当圆心 O 到直线l的距离为 8 时,直线l与O相离。
2.如图， ⊙O的半径为，AB、AC是⊙O的两条弦，AB ，AC=4，如果以点O为圆心作一个与AC 相切的圆，那么这个图的半径是多少 它与AB 所在直线有怎样的位置关系
3.如图，在Rt是△ABC中，∠C=90°.AC=3.BC=4.以点C为圆心，r为半径的圆与AB 所在直线有怎样的位置关系
(1)r=2:(2)r=2.4;(3)r=3.
(1)当r=2时,因为d>r,所以圆与 AB 所在的直线相离
(2)当r=2.4 时,因为 d=r,所以圆与 AB 所在的直线相切
(3)当r=3时,因为 d4.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C，若AD=DC，∠ABD的度数
解:∵AB 是⊙O 的直径
∴∠BDA=∠BDC=90°
又∵AD=DC,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ABD=∠CBD.
又∵CB 为⊙O的切线
∴∠ABC=90°.
∠ABD=×90°=45°
5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D=30°，求∠ A的度数。
解:如图,连接 OC.
∵CD 是⊙O 的切线,点 C 为切点
∴OC⊥CD，
又∵∠D=30°
∴∠COD=60°=∠A+∠ACO,
又∵OA=OC
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠COD=×60°=30°
6.如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB,CA=CB，直线AB与⊙O相切吗 为什么
解:AB 与⊙O 相切
如图,连接 OC.
∵OA=OB,CA=CB,OC=OC
∴△AOC≌△BOC ∴∠OCA=∠OCB.
又∵∠0CA+∠OCB=180°
∴∠OCA=∠OCB=90°,即OC⊥AB
∴直线 AB 与⊙O相切
7.如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，判断△CBP的形状，并说明理由.
解:△CBP 是等腰三角形.理由如下
∵BC切⊙O 于点B ∴OB⊥CB.
∴∠CBP+∠OBA=90°
∵OC⊥OA ∴∠OPA+∠OAP=90°.
∵OA=OB ∴∠OAP=∠OBA
∴∠OPA=∠CBP..
∵∠OPA=∠CPB∴∠CBP=∠CPB。.
∴△CBP 是等腰三角形.
8.如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为 D.AB与以点P为圈心，PD为半径的圈相切吗 为什么
解:相切.
如图,过点P作PE⊥AB,垂足为 E.
∵AP 是∠BAC 的平分线,PD⊥AC，..
∴PE=PD.
又∵PD 为半径 ∴PE 也为半径.
∴AB 与以点 P为圆心，PD 为半径的圆相切
9，如图，已知Rt△ABC(∠C=90°)，作一个圈，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切(不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由)
解:如图所示，⊙O就是所求作的圆.
作图理由如下:由所作的⊙O与AB,BC 所在的直线相切可知，圆心O到AB,BC 的距离相等,由此想到“到角两边距离相等的点在角的平分线上”,因此作∠ABC 的平分线.
因为圆心 O在AC 上,所以所求作的圆的圆心O为∠ABC 的平分线与AC 的交点以点O 为圆心,OC 为半径(OC⊥BC)所作的⊙O即为所求作的圆.
10.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，BD与ID相等吗 为什么
解:BD=ID.
如图所示,连接 BI.
∵I 是△ABC 的内心
∴BI 平分∠ABC,AD 平分∠BAC
∴∠IBC=∠IBA，∠BAD=∠CAD=∠CBD.
∵∠IBC+∠CBD=∠IBD，∠IBA+∠BAD=∠DIB
∴∠IBD=∠DIB
∴BD=ID.
11.如图，△ABC的周长为 24，面积为48，求它的内切圆的半径。
解:如图,设O为△ABC 的内心,内切圆的半径为r,三个切点分别为 D,E,F,连接 OD,OE,OF，0A,OB,OC，
∴OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,OD=OE=OF
∴S△ABC = S△AOB 十S△BOC 十S△AOC
AB·OD+BC·OF+AC·OE
=r(AB+BC+AC).
∵S△ABC =24,AB+BC+AC=24,
∴r24=24,解得r=2.
∴△ABC 的内切圆的半径为 2.
*12.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在弧AB上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E。设PA=10，求△PDE的周长。
解:∵DA,DC与⊙O 相切
∴DA=DC.
同理可得 EC=EB,PA=PB.
∵PA=10，
∴△PDE 的周长为 PD+DE +PE
=PD+DC+CE+PE
=PD+DA+EB+PE
=PA+PB
=2PA=20.
*13.如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H。AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系 为什么
解:AB+CD=DA+BC
∵AE,AH 是⊙O的切线
∴AE=AH
同理可得 BE=BF,CF=CG,DG=DH.
∴AB +CD =AE +BE +DG +CG
=AH +BF+DH+CF
=DA+BC
即AB+CD=DA+BC.
*14.如图，AB是⊙O的切线，切点为 BAO交⊙O于点C，过点C的切线交AB 于点D，若AD=2BD，CD=2.求⊙O的半径
解:连接 OB(图略).
∵DC切O0 于点C ∴DC⊥OA.
又∵DB切⊙O于点B，
∴DC=DB=2∴AD=2BD=4.
∴AB=BD+AD=6.
在Rt△DCA 中,AC===2,
设⊙O的半径为 r.
在 Rt△ABO 中,+=
即 =,解得r=2
∴⊙O的半径为 2
阅读
圆与圆的位置关系
借助学习点与圈、直线与圈的位置关系所获得的经验，我们未探索圆与圆的位置关系.在平面内，两圆相对运动，可以得到下列不同的位置关系(如图(1)):
这5种位置关系分别称为两圈外离、外切、相交、内切和内含.像点与图、直线与圆的位置关系那样，圈与图的位置关系与相应的数量关系之间也有着内在的联系。如围(2)，设⊙ O1、 ⊙ O2 :的半径分别为 R、r，圆心0、O:之间的距离为d.
观察图(2)，我们可以用d与R、r之间的数量关系来描述两圆的位置关系:
两圆外离d>R+r;
两圆外切d=R+r;
两圆相交R-rr)
两圆内切d=R-r(R> r)
两圆内含dr)
图形的位置关系决定了相应数量之间的关系，反过来，由数量之间的关系可以判定图形的位置关系。