2.7 弧长及扇形的面积 课件(共28张PPT) 2023-2024学年苏科数学九年级上册

(共28张PPT)
弧长及扇形的面积
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我们知道，圆上任意两点间的部分叫做弧，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。弧是圆的一部分，扇面是圆面的一部分.
思考与探索
如图2-58，当圆的半径R确定时，扇形的弧长随所对圆心角大小的变化而变化。设n的圆心角所对的弧长为l，探索l与n之间的数量关系
圆心角所对的弧长公式
360°的圆心角所对的弧长就是圆周长2πR，
180°的圆心角所对的弧长为×2πR.
1°的圆心角所对的弧长为×2πR.
弧长与所对的圆心角度数
在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有如下关系:
×2πR=
在这个关系式中
当n为常数时，
当R为常数时
l是n的正比例函数
l是R的正比例函数
观察与思考
仿照上面的过程，探索图2-58中扇形的面积S形与扇形的圆心角度数n之间的数量关系
圆心角为360°的扇形的面积就是圆面积πR2，圆心角为180°的扇形的面积为×πR2
圆心角为1°的扇形的面积为×πR2
在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间有如下关系:S扇形=πR2
思考与探索
这个公式揭示了S与n、R之间的数量关系。试探索S与l、R之间的数量关系.
由S扇形=πR2 l=
可得S扇形=·R，
于是S扇形=l·R
例1
如图2-59，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°设⊙O的半径为2，求弧BC的长。
解:连接OB、OC，
则∠BOC为弧BC所对的圆心角
∵∠BAC=60°
∴∠BOC=2∠BAC=120°
∴弧BC的长l=
例2
如图2-60，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm,AC的长为20cm.求图中阴影部分的面积S。
解:S=S扇形OAB一S扇形OCD.
∵S扇形OAB=
S扇形OCD=
∴ S=
拓展与延伸
如图2-61，半圆的直径AB=40，C、D是半圆的3等分点，求弦AC、AD与弧CD围成的阴影部分的面积
如图所示,连接 CD,OC,OD.
∵C,D 是半圆的三等分点
∴∠CDA =∠DAB
∠COD=60°
∴CD//AB
S△ACD =S△ACD(同底等高的三角形的面积相等)
∴S△ACD =S△ACD
(同底等高的三角形的面积相等)
∴S阴影=S扇形OCD
=
1.已知圆弧所在圆的半径为 24，所对的圆心角为60°，求这条弧的长.
解:根据弧长计算公式l=,
得=8π
2.已知扇形的圆心角为120°，弧长为20，求这个扇形的面积。
∵扇形的圆心角为 120°,弧长为 20，
∴120=，解得R=30.
∴S扇形lR=×20π×30=300元
习题2.7
1.已知75°的圆心角所对的弧长为5，求这条弧所在圆的半径。
解:由弧长公式l=,知
5π=
解得 R=12
2.已知扇形的面积为6，半径为4，求这个扇形的弧长。
解:由扇形的面积计算公式 S=lR 知，
6π=l×4,解得l=3
3.如图，OA、OB是⊙O的两条半径，以OA为直径的⊙O交OB于点C，弧AB与弧AC的长相等吗 为什么
解:弧AB与弧AC的长相等
连接 O1C(图略).设⊙O1的半径为r，∠BOA=n°，
则OA=2r,∠CO1A=2n°.
∵弧AB的长为=弧AC的长为=
∴弧AB与弧AC的长相等.
4.如图，AB是⊙O的切线，切点为 B，AO交⊙O于点C，且AC=OC
(1)求弧BC的度数;
如图所示,连接 OB,BC 由题意知，∠OBA=90°
在Rt△AOB 中，
∵AC=OC，
∴BC=OA-0C ∴ ABOC 为等边三角形
∴∠AOB=60°，
∴弧BC的度数为 60°
(2)设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积。
由题意知 OB=5,OA=10,
在Rt△ABO 中，
∵AB2+OB2=OA2
∴AB=
由(1)知∠AOB=60°，
∴S阴影=S△AOB一S扇形OBC
×5×=