5.2.1函数的奇偶性（1）同步练习（含解析）

【学生版】 5.2 函数的基本性质
5.2.1函数的奇偶性（1）
学习目标
1、了解函数奇偶性的定义；2、了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系；3、掌握证明函数奇偶性的方法；
知识梳理
1、奇函数与偶函数的定义；2、奇、偶函数的图像特征；3、奇、偶函数的证明；
每日作业
一、选择题
1、下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14
2、若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．不能确定
二、填空题
1、已知已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则
2、下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
2、若y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
3、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
4、已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为
6、若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式y=f(x)＝________．
7、已知y=f(x)是偶函数且图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是
8、已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．
三、解答题
1、若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，求函数y=f(x)的解析式．
2、设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图像；
(3)写出函数f(x)的值域。
四、思考题
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合．
1．(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？
2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
【教师版】 5.2 函数的基本性质
5.2.1函数的奇偶性（1）
学习目标
1、了解函数奇偶性的定义；2、了解函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系；3、掌握证明函数奇偶性的方法；
知识梳理
1、奇函数与偶函数的定义；2、奇、偶函数的图像特征；3、奇、偶函数的证明；
每日作业
一、选择题
1、下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选C；
答案：C；
2、若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．不能确定
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2；故选B；
答案：B；
二、填空题
1、已知已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则
解析：因为，幂函数为奇函数，且在上递减，
所以是奇数，且，则．
答案：；
2、下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
答案：②④　①③
2、若y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.
答案：－2；0；
3、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝，又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0；
答案：；0；
4、已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝
解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21；
答案：－21；
5、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为
解析：由题意，f(0)＝30＋m＝0，解得m＝－1，故当x≥0时，f(x)＝3x－1，
f(－log35)＝－f(log35)＝－(－1)＝－4；
答案：－4；
6、若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式y=f(x)＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，因为图像关于y轴对称，
且它的值域为(－∞，4]，所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，所以f(x)＝－2x2＋4；
答案：－2x2＋4
7、已知y=f(x)是偶函数且图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是
解析：因为y=f(x)是偶函数且图像与x轴有四个交点,这四个交点每组两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.
答案：0；
8、已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．
解析：因为y=f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：1
三、解答题
1、若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，求函数y=f(x)的解析式．
解析：因为y=f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，所以b＝0，
又因为f＝＝，所以a＝1，所以f(x)＝.
2、设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图像；
(3)写出函数f(x)的值域。
解析：(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
因为f(x)的图像过点A(2，2)，
所以a(2－3)2＋4＝2，
所以a＝－2，
所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)函数图像如图所示．
(3)由图像观察知f(x)的值域为{y|y≤4}；
四、思考题
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解】　(1)由题意作出函数图像如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
1．(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解：结合图像可知，满足条件的y的取值范围是(－1，0)．
2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解：(1)由题意作出函数图像如图所示：
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．