1.4 用一元二次方程解决问题 课件(共61张PPT) 2023-2024学年苏科数学九年级上册

(共61张PPT)
1.4 用一元二次方程解决问题
新课导入
我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决。
面积问题
问题1
用一根长22m的铁丝:
(1)能否围成面积是30cm的矩形
解:设这根铁丝围成的矩形的长是cm，则矩形的宽是(11-x)cm.
(1)根据题意，得x(11-x)=30.即x-112+30=0
问题1
(2)能否围成面积是32cm的矩形
即(2)根据题意，得2(11-3)=32之-11x+32-0.
因为b2-4ac=(-11) 2-4×1×32=121－128=－7<0
所以此方程没有实数根.
答:用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形
面积问题练习
1.一块长方形菜地的面积是 150m2.如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地。求这个长方形菜地的长和宽.
增长率问题
问题2增长率问题
某商店6月份的利润是2500元要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少
分析:如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500(1十x)元,8月份的利润是[(2500(1+x)](1+x)元
问题2解答
解:设平均每月利润增长的百分率是x
根据题意，得 2500(1+x) 2=3600
解这个方程，得
x1=0.2, x2=-2.2(不合题意，舍去)
答:平均每月利润增长的百分率是20%.
增长率问题练习
2.用长为100cm的金属丝能否制成面积是600cm的矩形框子 能否制成面积是800cm”的矩形框子 某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件51.2元求该种服装平均每次降价的百分率。
解:设用金属丝制作的矩形框子的一边长是 x cm.那么矩形框子的另一边长是(50-x)cm.如果矩形框子的面积是 600 cm2,那么x(50-x)=600,解得x1=20, x2=30.如果矩形框子的面积是800 cm2,那么x(50-x)=800,
变形为 x2－50x +800=0.因为 b2－4ac -(-50) 2-4×1×800= － 700<0
所以此方程无解
销售问题
问题3销售问题
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250元，那么衬衫的单价降了多少元
问题3分析
分析:设衬衫的单价降了x元，则商场平均每天可多售出 2x件衬衫，每件衬衫盈利(40一x)元，
问题3解答
解:设衬衫的单价降了x元
根据题意，得(20+2 x)(40- x)=1250
即x2－30x+225=0
解这个方程，得x1 =x2 =15
答:衬衫的单价降了15元
练习
2.某商店经销的某种商品，每件成本为40元.经市场调研，售价为50元时，可销售200件:售价每增加1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元问:该商店销售了这种商品多少件 每件售价多少元
解:设每件商品加价x元,则可销售(200 － 10x)件
由题意,得(50+x － 40)(200 － 10x)=2 000.
化简,得x2－10x=0.
解得 x1=10, x2=0.
故当x=10 时,每件售价为 50+10=60(元),该商店销售了这种商品 200-10×10=100(件)
当x=0时,每件售价为 50+0=50(元),该商店销售了这种商品 200－10×0=200(件).
答:该商店销售了这种商品 100 件或 200件，每件售价为 60 元或50元
图表问题
问题4图表问题
根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗
问题4分析
分析:由800×30=24 000<28 000，可知参加这次旅游的人数(x)大于30，人均收费降低10(x-30)元，于是可列出方程求解，但考虑到人均收费应不低于550元，因而必须检验求得的解是否符合题意.
问题4解答
解:设参加这次旅游共有x人，由800×30=24000<28 000，可知x>30，人均收费为[800-10(x -30)]元.
根据题意，得x·[800-10(x-30)]-28 000.
整理，得 x2 － 110x+28000=0
解这个方程，得动=40，22-70.
问题4解答
当x=40时，[800-10(x-30)]=800-10(40-30) =700>550
当x=70时，[800-10(x-30)]=800-10(70-30) = 400<550(不合题意，舍去)
答:参加这次旅游共有40人
练习
1.在本节问题4中，该公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29 250元，求该公司第二批参加旅游的员工人数.
解:因为800×30=24 000<29 250,
29 250÷550≈53.18,所以该公司第二批参加旅游的员工人数超过30 人，且不超过 53人.
设该公司第二批参加旅游的员工有y 人,
则y[800-10(y － 30)]=29 250.
整理,得y2－110y+2 925=0
解这个方程,得 y1=45, y2=65(不合题意,舍去).
答:该公司第二批参加旅游的员工有 45 人
几何图形动点
问题5几何图形动点
如图1-4，海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截，缉私艇从C处到B处需航行多长时间
问题5分析
分析:设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB=60x km，BC=75xkm.根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程。
问题5解答
解:设缉私艇从C处到B处需航行x h，则AB=60xkm，BC=75x km .
根据题意，得：△ABC是直角三角形，AC=30km.
于是(60x) 2+302=(75x) 2
解这个方程，得x1=，x2=- (不合题意，舍去)
答:缉私艇从C处到B处需航行h
问题6几何图形动点
如图1-5，在矩形ABCD中，AB = 6cm,BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动:同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28cm 2
问题6分析
分析:设x s后△ DPQ的面积为28cm 2 ，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △ DAP、Rt △ PBQ、Rt △ QCD的面积也都可用含x的代数式表示，于是可以列出方程.
问题6解答
解:设x s后△DPQ的面积等于28 cm 2 ，则△ DAP、 △ PBQ 、△ QCD的面积分别为× 12 x 、× 2 x(6 － x)、× 6 ×(12 － 2 x ).
根据题意，得
6×12 －× 2 x (6 － x) － × 6 × (12 － 2 x )=28，
问题6解答
即x 2 － 6 x ＋ 8=0
解这个方程，得x1 =2, x2= 4
答:2s或4s后△DPQ的面积等于28cm 2
几何图形动点练习
1.一个直角三角形的两条直角边的和是28cm2，面积是96cm2求这个直角三角形两条直角边及斜边的长
几何图形动点练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=2cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动。点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍。
习题1.4
1.一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458.求原两位数.
设原两位数的个位数字为x,则十位数字为 9 － x,根据题意,得[10(9 － x)+ x] [ 10 x ＋(9 － x)]=1 458,
解这个方程,得 x1 =1, x2 = 8.
当x=1时,9-x=9-1=8,这个两位数是 81
当x=8 时,9-x=9-8=1,这个两位数是 18.
答:原两位数是 81 或18.
2.一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少
设平均每次降价的百分率是 x.
根据题意,得 60(1-x) 2 =48.6，
解得 x1 =0.1=10%, x2=1.9(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率是 10%.
3.某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，平均每年增产的百分率是多少
解:设平均每年增产的百分率是 x.
根据题意,得 3 000(1+x) 2=3 630，
解得. x1=0.1=10%, x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:平均每年增产的百分率是 10%.
4，如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚3mm的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面积减少到原来的，求该水管原来的内径.
解:设该水管原来的内径是 2x mm.
根据题意,得 π (x-3) 2= πx 2
解得x1 =9 x2=(不合题意,舍去).
所以9×2=18(mm)
答:该水管原来的内径是 18 mm.
5.如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到 760 m2，道路的宽应为多少
解:设道路的宽为 x m.
（40-x）（22-x）=760
解得 x1=60(不合题意,舍去),
x2=2.
答:道路的宽应为 2 m.
6.把一根长80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积的和等于200cm2，应该怎样剪
设绳子一段长为 x cm,则另一段长为(80－x)
（x）2＋[(80－ x)] 2 =200
整理,得(x － 40) 2 = 0,解得 x1=x2=40.
答:从这根绳子的中间剪断,两段都为 40 cm.
(2)这两个正方形面积的和可能等于488cm2吗
设绳子一段长为xcm,则另一段长为(80－x)cm.
（x）2＋[(80－ x)] 2 =488
解得 x1=88，x2= － 8
x1、x2.都不合题意
7.某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件;售价每提高5元，销售量将减少100件已知商店销售这批服装获利 12 000元，问这种服装每件售价是多少元
解:设这种服装每件售价是 x 元，则可销售件
由题意,得（x－50） =12000
化简,得x2 － 150x＋5 600=0
解得 x1=70, x2=80.
当x=70时，
当x=80 时,
8.某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双 240元。如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋支付了3 600元，这位顾客买了多少双
解:设这位顾客买了x双鞋.由 240 × 10=2 400<3 600,可知x >10.
由题意,得 x[240-6(x － 10)]=3 600.
整理,得x2 － 50x+600=0
解得 x1=20, x2=30.
因为单价不能低于 150 元，即 240 － 6(x － 10)>150,解得x≤25，所以x=20
管:这位顾客买了 20 双鞋
9.一个直角三角形三边的长为连续整数，求这个三角形的斜边长.
解:设这个直角三角形的两直角边长分别为(x － 1),x,斜边长为(x ＋ 1).
根据勾股定理,得(x － 1) 2 +x 2 =(x +1) 2
整理,得x2 － 4x=0
解得 x1=0 (舍去),x2=4
所以x＋1=5.
答:这个三角形的斜边长为 5.
10.建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方来100元，池底的造价为每平方米 200元，总造价为6400元。求该水池池底的边长。
解:设该水池池底的边长为 x m.根据题意,得 200x2+100·2x·4=6 400
整理,得 x2+4x-32=0，
解得 x1=4, x2=－8(舍去).
答:该水池池底的边长为 4 m.
11.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE //BC，DF //AC(点E、F分别在AC、BC上)，点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2
解:设点 D出发x s 后四边形 DFCE 的面积为20 cm2
则AD=DE=2x cm, DB=BF=(12-2x)cm
根据题意,得 S△ABC=S △ ADE=S △ DBF=S四边形DFCE
12 2 － （ 2 x ） 2 － （12 － 2 x ） 2 =20
整理,得x2 － 6x＋5=0,
解得x1=1, x2=5.
答:点 D出发1s或5s后四边形 DFCE 的面积为20 cm2
教学活动
矩形绿地中的花圃设计
在一块长是32.m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花围，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗
教学活动
思考:花圃可以有多种设计方案
例如，在绿地中间开辟一个矩形的花圃
使四周的绿地等宽，绿地的面积
与花圃的面积相等，你能计算出绿地的宽吗
探索:请你再设计两种不同的方案
交流:你的设计方案有哪些特点