【学生版】 5.1.2函数的表示方法
学习目标
1、了解函数的三种表示方法;会根据不同需要选择恰当方法表示函数;2、会作函数的图像并从图像上获取有用信息;3、理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值;
知识梳理
1、函数的三种表示方法;2、待定系数法、换元法;3、分段函数;
每日作业
一、选择题
1、下列图形是函数的图像的是 ( )
2、已知f=(x≠-1),则y=f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x≠-1) B.f(x)=-(x≠-1)
C.f(x)=(x≠-1) D.f(x)=-(x≠-1)
二、填空题
1、已知f(x)=x2-x+2,则f()=__________,f(f(3))=_________,f=_________,f(a+b)=__________.
2、已知函数y=-x2-2x+1,其中x∈R,则函数的值域为
3、已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为
4、已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,函数y=g(x) 的图像是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为________.
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
5、某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月交水费16m元,则该职工这个月实际用水量为________立方米.
6、已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是
7、已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
8、设函数y=f(x)是定义域为R,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.
三、解答题
1、已知函数p=f(m)的图像如图所示.求:
(1)函数p=f(m)的定义域;
(2)函数p=f(m)的值域;
(3)p取何值时,有唯一的m值与之对应.
2、已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(-),f的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m(m≤-2或m≥2),求实数m的取值范围.
四、思考题
(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
【教师版】 5.1.2函数的表示方法
学习目标
1、了解函数的三种表示方法;会根据不同需要选择恰当方法表示函数;2、会作函数的图像并从图像上获取有用信息;3、理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值;
知识梳理
1、函数的三种表示方法;2、待定系数法、换元法;3、分段函数;
每日作业
一、选择题
1、下列图形是函数的图像的是 ( )
1、答案:B;
2、已知f=(x≠-1),则y=f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x≠-1) B.f(x)=-(x≠-1)
C.f(x)=(x≠-1) D.f(x)=-(x≠-1)
解析:设=t,变形得,则,并解得x=(t≠-1),
所以f(t)===,即f(x)=(x≠-1).故选C;
答案:C。
二、填空题
1、已知f(x)=x2-x+2,则f()=__________,f(f(3))=_________,f=_________,f(a+b)=__________.
解析:f()=()2-+2=5-;f(3)=32-3+2=8,所以f(f(3))=f(8)=58;
f=-+2;f(a+b)=(a+b)2-(a+b)+2;
答案:5-;58;-+2;(a+b)2-(a+b)+2。
2、已知函数y=-x2-2x+1,其中x∈R,则函数的值域为
解析:法一:由;
法二:函数y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2的图像如图所示.
当x∈R时,观察图知y≤2,即值域为(-∞,2].
答案:;
3、已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为
解析:正方形边长为,而(2y)2=+,所以y2=;所以y==x;
答案:y=x。
4、已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,函数y=g(x) 的图像是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为________.
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
解析:由函数g(x)的图像知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2;答案:2。
5、某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月交水费16m元,则该职工这个月实际用水量为________立方米.
解析:该单位职工每月应交水费y与实际用水量x满足的关系式为y=
由y=16m,可知x>10,令2mx-10m=16m,解得x=13;
答案:13。
6、已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是
解析:当x≥0时,f(x)=1,xf(x)+x≤2 x≤1,所以0≤x≤1;
当x<0时,f(x)=0,xf(x)+x≤2 x≤2,所以x<0,综上,解集是。
7、已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
解析:当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a=-,不合题意;当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-;答案:-。
8、设函数y=f(x)是定义域为R,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.
解析:法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),设x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1;
法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).
再令-y=x,代入上式,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1);即f(x)=x2+x+1。
三、解答题
1、已知函数p=f(m)的图像如图所示.求:
(1)函数p=f(m)的定义域;
(2)函数p=f(m)的值域;
(3)p取何值时,有唯一的m值与之对应.
解析:(1)观察函数p=f(m)的图像,可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是-3≤m≤0或1≤m≤4,由题图知定义域为[-3,0]∪[1,4].
(2)由题图知值域为[-2,2].
(3)由题图知:p∈(0,2]时,只有唯一的m值与之对应.
2、已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(-),f的值;
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
(3)若f(m)>m(m≤-2或m≥2),求实数m的取值范围.
解析: (1)由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),-∈(-∞,-2],
知f(-5)=-5+1=-4,f(-)=(-)2+2×(-)=3-2,
因为f=-+1=-,且-2<-<2,
所以f=f=+2×=-3=-.
(2)①当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.
②当-2
所以(a-1)(a+3)=0,得a=1,或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3 (-2,2),所以a=1,符合题意.
③当a≥2时,2a-1=3,所以a=2,符合题意.
综合①②③,当f(a)=3时,a=1,或a=2.
(3)由于f(m)>m,当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,故m≤-2;
当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1.故m≥2.
所以,m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
【说明】(1)求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,再代入相应的解析式求得;(2)像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处理。
四、思考题
(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(3)已知2f+f(x)=x(x≠0),求f(x).
解析: (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4.
所以解得或
所以f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)法一:(配凑法)
因为f(+1)=x+2=(+1)2-1(+1≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
法二:(换元法)
令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2(t≥1),
所以f(t)=(t-1)2+2=t2-1(t≥1).
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(3)f(x)+2f=x,令x=,
得f+2f(x)=.
于是得到关于f(x)与f的方程组
解得f(x)=-(x≠0).