第21章 一元二次方程单元测试题（含解析）

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人教版九年级上册第21章《一元二次方程》精选单元练习题
一、选择题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，-3，10 B．1，7，-10 C．1，-5，12 D．1， 3，2
3．方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．
5．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是( )
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
6．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
7．利用公式法求解可得一元二次方程式 的两解为、，且，求a值为何（　　）
A． B． C． D．
8．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
9．若，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．7或 C．或 D．
12．某商店6月份的利润是2500元，8月份的利润达到3600元.设平均每月利润增长的百分率是，则可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
14．一元二次方程化为一般形式为 ，它的二次项是 ，一次项是 ，常数项是 ．
15．方程的根是 ．
16．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程 .
17．对于实数，，定义一种运算“”为：．如果关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
三、解答题
18．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
(1)若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程（k是整数）．
(1)求证：无论为何值，方程总是有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个不等的实数根分别为，（其中），设，判断是否为的函数？如果是，请写出函数关系式；若不是，请说明理由．
21．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
22．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场
决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2
件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
23．某一农家计划用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子ABCD，其中AD边利用已有的一堵墙，其余三边用篱笆围起来．现已知墙的长为7.9m，可以选用的篱笆总长为11m．
（1）若取矩形园子的边长都是整数米，问一共有哪些围法？
（2）当矩形园子的边AB和BC分别是多长时，11m长的篱笆恰好用完？
24．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，则．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_________， _________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值．
(3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．
参考答案
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．
【详解】A．当时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意；
B．原方程整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意；
C．是一元三次方程，故不符合题意；
D．符合一元二次方程的定义，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．
2．A
【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可．
【详解】方程整理得：x2 3x+10=0，
则a=1，b= 3，c=10.
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
3．A
【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可.
【详解】解：移项得：x2+6x=5，
配方可得：x2+6x+9=5+9，
即（x+3）2=14，
故选：A．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键.
4．C
【分析】把x＝0代入方程x2+﹣x+a2﹣1＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【详解】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，
∴a＝±1．
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．B
【详解】(x＋5)2－3(x＋5)＝0
(x＋5) (x＋5-3)＝0.
所以因式分解法比较简单, 所以选B.
6．D
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得a≠0且，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．D
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：，
这里，，，
△，
，
一元二次方程式 的两解为、，且，
的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
8．D
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
9．A
【分析】设a+b=t，则把原方程中的a+b代换成t，即可得到关于t的方程．
【详解】设a+b=t，则由原方程，得
t(t+2) 8=0,即(t-2)(t+4)=0，
解得，t=2或t=-4.
即a+b的值为2或-4.
故选:A.
【点睛】考查用换元法解一元二次方程，设 a+b=t，把原方程中的a+b代换成t，得到关于t的方程是解题的关键.
10．A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得第一轮传染后患流感的人数是：人，从而得到第二轮传染后患流感的人数，即可求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染后患流感的人数是：人，
∴第二轮传染后患流感的人数是：，
∵经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．C
【分析】把x=4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
12．C
【详解】分析：代入利润类问题的公式：a（1+x）n=b（a表示的是起始数据，b表示最后达到的水平，x表示增长率，n表示增长的次数）即可．
详解：每月利润增长的百分率为x，
则7月份的利润为：2500×(1+x)，
8月份的利润为：2500×(1+x)(1+x)=2500×(1+x)2
因为8月份的利润是3600，
所以：2500×(1+x)2=3600
故选C.
点睛：本题主要考查根据等量关系列出函数关系式.列函数关系式通常是利用“公式”或“方程的思想”来寻找等量关系的,同时还要注意哪个变量是自变量,哪个变量是因变量.列函数关系式时通常把因变量写在等号的左边,自变量和常数写在等号的右边,并把因变量的系数化为1.
13．﹣2
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
解得：
故答案为
14．
【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算方程等号的左边，再移项、合并同类项即可化为一般形式，由此即可得出答案．
【详解】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
则一元二次方程化为一般形式为，它的二次项是，一次项是，常数项是，
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是（都是常数且）．在一般形式中是二次项，是一次项，是常数项．
15．，
【分析】由因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
16．x2－7x＋12＝0
【分析】如果设其中一个数为x，那么另一个数为（6-x），根据乘积等于5，那么可列出方程．
【详解】设其中一个数为x，那么另一个数为（7-x），
∵两个数的积为12，
∴x（7-x）=12，
整理得：x2-7x+12=0．
故答案是：x2-7x+12=0．
【点睛】考查一元二次方程的运用，解题关键是根据题意列出方程.
17．0
【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【详解】解：由x*（a*x）=得（a+1）x2+（a+1）x+=0，
依题意有a+1≠0，
△=（a+1）2-（a+1）=0，
解得，a=0，或a=-1（舍去）．
故答案为：0．
【点睛】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，再通过提公因式进行因式分解，最后解方程即可；
（2）先去分母，再通过十字相乘法进行因式分解，最后解方程即可．
【详解】（1）解：
原方程可化为
∴，；
（2）
原方程可化为
a=3，b=-2，c=-4
∴
∴，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解的方法提公因式法与十字相乘法．
19．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据方程的解把x=1代入方程得到c﹣b=0，即c=b，于是由等腰三角形的判定即可得到ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．
（1）
解：把x=1代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
（2）
解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则的判别式：
化简可得
则该三角形的形状为直角三角形．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)是变量的函数，
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可证明；
（2）根据公式法求出该方程的解，即得出，，再代入中即得出答案．
（1）
∵该方程为一元二次方程，
∴．
∵，k是整数，
∴，
∴无论为何值，方程总是有两个不相等的实数根；
（2）
根据公式法解方程可得：
整理，得：
∵，k是整数
∴，
∴．
∴是变量的函数．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，用公式法解方程．掌握一元二次方程根的判别式时，该方程有两个不相等的实数根是解题关键．
21．(1)x1=，x2=-；
(2)x1=，x2=-．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
（1）
解：根据题中的新定义得：6x2-49=0，
整理得：x2=，
解得：x=±；
∴x1=，x1=-；
（2）
解：根据题中的新定义得：（x+1）2-（1-x）（x-1）=6，
方程整理得：x2+2x+1+x2-2x+1=6，即x2=2，
解得：x=±．
∴x1=，x1=-．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，直接开平方解一元二次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
23．（1）3种；宽为2m时，长为6m；宽为3m时，长为4m；宽为4m时，长为3m； （2）4；3
【分析】（1）设园子的长为ym，宽为xm，根据墙长7.9m，围成矩形的园子面积为12m2，列出方程和不等式，求出x，y的值，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的结果，选取宽为4m时，长为3m的篱笆正好使11m长的篱笆恰好用完．
【详解】解：（1）设园子的长为ym，宽为xm，根据题意得：
，
∵园子的长、宽都是整数米，
∴x＝6，y＝2或x＝4，y＝3或x＝3，y＝4，
∴一共有3种围法：
宽为2m时，长为6m，
宽为3m时，长为4m，
宽为4m时，长为3m；
（2）∵要使11m长的篱笆恰好用完，则2x+y＝11，
∴x＝4，y＝3，
∴要使11m长的篱笆恰好用完，应使宽为4m，长为3m．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式组，注意园子的长、宽都为整数．
24．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）根据材料提示先求出，的值，再根据分式运算，乘法公式的运算将变形，即可求解；
（3）将实数看作是关系的方程满足的两个根，再根据材料分别求出，的值，再根据分式运算将变形，即可求解．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，
，，
故答案为：，．
（2）解：一元二次方程的两根分别为、，
，，
．
（3）解：实数、满足，，
∴，看作是方程的两个实数根，
，，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，即韦达定理的运用是解题的关键．