1.1.1 集合的概念与表示 课件（共25张PPT）

第1章 预备知识
北师大版必修第一册
N*
N
Z
Q
R
1.1.1 集合的概念与表示
集合是什么？元素又是什么？
1
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；
（5）方程x2+9x?10=0的所有解；
（6）地球上的七大洲
?
2，4，6，8，10
全部正方形，无数个
点构成了直线
????????=
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。
集合是什么？元素又是什么？
1
对象
总体
集合中的元素有什么性质？
2
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个
已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在 ，
要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为
组成它的元素是不缺定的。
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
集合中的元素有什么性质？
2
互异性
无序性
确定性
元素、集合的表示和关系
3
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母????,????,????…等表示元素
?
元素与集合的关系：
如果是????是集合A的元素，那么就说????属于集合A，记作????∈A；
?
如果是????不是集合A的元素，那么就说????不属于集合A，记作?????A；
?
比如，3∈自然数集；4?奇数集
元素、集合的表示和关系
3
常用数集及其表示
4
【自然数集】
全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】
全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】
全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】
全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】
全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
N*
N
Z
Q
R
注意写法
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
常用数集及其表示
4
列举法
5
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；“方程????????
【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况
下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集
N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛????,????+????,????2,????｝
?
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
列举法
5
用列举法表示下列集合
（1）小于7的所有自然数的集合；
（2）方程x2+2x=0的所有实数根组成的集合.
?
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，｝
（2）｛-2，0｝
注意：
由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛1，2，4，5，6，0，3｝等
描述法
6
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x
所组成的集合表示为｛ x?∈A|P(x)｝
这种表示集合的方法称为描述法。例如，我们可以把奇数集表示为
｛ x?∈Z| x?=2k+1(k∈Z)｝，偶数集表示为｛ x?∈Z| x?=2k(k∈Z)｝；
把不等式?????3>0的解集表示为｛ x?∈R| x?＞3｝
?
温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
｛ x?∈A：P(x)｝或｛ x?∈A；P(x)｝
?
描述法
6
问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ x?|????=?????1｝，
｛ ?????|????=?????1｝， ｛ ????,?????|????=?????1｝分别是三个不同的集合.
?
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛????????=2????｝未说明????的取值情况，故集合中的
元素不确定.
?
（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛ ????????=2????｝，????∈Z不符合
要求，应改为｛ ????????=2????，????∈Z ｝
?
（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如
{x|x2}
?
描述法
6
请用描述法表示下列集合：
（1）方程x2?4=0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
?
【解】（1）A={????| x2?4=0}
?
（2）B={????∈Z|10?
三种表示集合的方法
7
自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。
列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。
方程?????????
列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
三种表示集合的方法
7
几何语言及其他语言的关系及构成
形象化
具体化
自然语言
(通俗、易懂)
图形语言
(形象、直观)
集合语言
简介、抽象
文字化
抽象化
抽象化
形象化
文字语言
符号语言
图形语言
三种表示集合的方法
7
【①元素与集合关系的判断】
下列选项中是集合A={x,yx=????3,y=????4,????∈Z}中的元素的是（ ）
A. 13,34 B. 23,34 C. 3,4 D. 4,3
?
对于A，当????=13,????=34时，????3=13，则?????=1； ????4=34，则?????=3，不满足题意
?
对于B，当????=23,????=34时，????3=23，则?????=2； ????4=34，则?????=3，不满足题意
?
对于C，当????=3,????=4时，????3=3，则?????=9； ????4=4，则?????=16，不满足题意
?
对于D，当????=4,????=3时，????3=4，则?????=12； ????4=3，则?????=12，满足题意
?
【②已知元素与集合的关系求参数】
（1）若集合A中含有三个元素?????3,2?????1,????2?4，且-3∈A，求????
?
(1)①若?????????=?????，则????=????，此时A={-3,-1,-4}，满足题意
?
（2）若2?{????|?????????>0}，求????的取值范围
?
②若?????????????=?????，则????=?????，此时????????
【③由集合相等求参数】
含有3个实数的集合既可以表示为{????,????????,????}，又可以表示为{????,????+????,????}，则
?????+????的值是多少？
?
由题意{????,????????,????}={????,????+????,????}，易知????≠0且????≠1，
则有????+????=0且????=1或????????=1，
?
若?????=????，则由????+????=????得????=?????，经验证符合题意；
?
若????????=????，则????=????，由????+????=????得????=????=????，不符合题意；
?
综上，????=?????,????=????,????+????=????