2021-2022学年高二（上）期中数学试卷
参考答案
1-8：BCCBA DBB
9-12：AC；ABD；BD；AD；
13、
14、
15、
16、
17、
18、
（2）解：因为PA⊥CD，AB∥CD，∠BAD=90°，
所以AB⊥AP，AB⊥AD，
因为AP∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，
因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，
所以PD是PC在平面PAD内的投影，
所以直线PC与平面PAD所成的角为∠CPD=∠45°，
所以CD=PD=AD=2，AB=2CD=4，
所以四棱锥P-ABCD的体积为：
19、
20、
21、（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，
E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，
∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，
又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，
∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，
∵DE 平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC．
因为面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM；
（2）解：设存在P符合题意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），
22、
（2）①证明：直线OA，OB的方程为y=k1x,y=k2x,设椭圆C的“卫星椭圆”的圆心（x0，y0），
因为直线OA，OB是圆的切线，所以2021-2022学年高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给由的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线l经过原点和（-3，3），则它的倾斜角是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．-45°
2．圆心为（5，12）且过（0，0）的圆的方程是（ ）
A．x2+y2=13 B．x2+y2=169
C．（x-5）2+（y-12）2=169 D．（x+5）2+（y+12）2=169
3．已知直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥α B．l∥α
C．l∥α或l α D．l与α相交但不垂直
4．直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+2y=0 B．2x-y=0 C．x+y-3=0 D．x-y+3=0
5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则直线A1O与直线BO1的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．若椭圆的离心率，则m的值为（ ）
A．1 B． C. D.
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A，B距离之比是常数λ（λ＞0，λ≠1）的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足2|MA|=|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A．3π B．4π C．9π D．18π
8．动点M分别与两定点A（-5，0），B（5，0）连线的斜率的乘积为，动点M的轨迹为曲线C，已知，则|MN|+|MF|的最小值为（ ）
A．2 B．7 C． D.10
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若则
B．若，则m=--1
C．不存在实数λ，使得
D.若则
10．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则错误的是（ ）
A．C的焦距为2 B．|PQ|的最大值为
C．圆D在C的内部 D．C的长轴为
11．设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆的离心率可以取的值是（ ）
A． B. C. D.
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内（包含边界），点Q在线段BN上，若PM＝，则（ ）
A．点P的轨迹的长度为2π
B．线段MP的轨迹与平面ADC1B1的交线为圆弧
C．PQ长度的最大值为
D．PQ长度的最小值为
三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长为 .
14．已知直线l1：x+2y-12=0与直线l2：2x+4y+6=0，则直线l1与l2之间的距离为 .
15．若曲线仅有一个公共点，则k的取值范围是 .
16．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内（包含表面和棱上）有一点P，M、N分别为A1B1、DD1中点，且
（1）若，则t=
（2）若，则三棱锥A-PD1C1体积为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线2x-3y+1=0和直线x+y-2=0的交点为P．
（Ⅰ）求过点P且与直线3x-y-1=0平行的直线方程；
（Ⅱ）若直线l1与直线3x-y-1=0垂直，且P到l1的距离为，求直线l1的方程．
18．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E、F分别为棱PB、PA的中点．
（1）求证：FD∥平面PBC；
（2）若AD=2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
19．已知△ABC的三个顶点A（0，2），B（0，4），C（1，3），其外接圆为圆M．
（1）求圆M的方程；
（2）若直线l过点，且被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
20．已知O为坐标原点，椭圆C：，其右焦点为，A为椭圆（第一象限部分）上一点，M为AF1中点，OM⊥AF1，△MOF1面积为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A作圆x2+y2=b2两条切线，切点分别为C，D，求的值．
21．在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝，，AB=2，AM=1，E是AB的中点．
（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆C：的离心率为两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为
（1）若P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积；
（2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k1，k2．
①求证：k1 k2为定值；
②试问|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
