内蒙古名校联盟2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题（含答案）

高二数学考试（文科）
考生注意：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了4%，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为（ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．某中学举行歌唱比赛，甲、乙两位参赛选手各自从《难却》《兰亭序》《许愿》《最初的梦想》这四首歌曲中选两首作为参赛歌曲、已知甲选了《难却》，乙未选《许愿》，则甲、乙有相同的参赛歌曲的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为3，宽为2的矩形，俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
11．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A． B．2π C． D．
12．已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，若，则______．
14．若x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为______．
16．数列满足，，则的前2023项和______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）．
甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．
甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93，
乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92，
（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲，乙面试分数的平均分的高低．
（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．
18．（12分）
如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，的面积为．
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，F为PA的中点．
（1）证明：．
（2）求点P到平面CDF的距离．
20．（12分）
已知函数的一个极值点为1．
（1）求；
（2）若过原点作直线与曲线相切，求切线方程．
21．（12分）
已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为3，
（1）求椭圆E的方程．
（2）设A，B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，P在椭圆E上，且点P异于A，B两点，O为原点，直线AP交x轴子点M，直线BP交x轴于点N，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，已知点，求．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
高二数学考试参考答案（文科）
1．B ．
2．C ，，．
3．A 方程，即，表示圆，则，解得或．故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件．
4．B 由，得．
5．C 因为，所以．由在上单调递增，得，即在上恒成立，从而．
6．B 设招聘x名硕士生，由题意可知，，解得，所以本科生教师共分得树苗棵．
7．A
所以是奇函数，排除C，D．当时，，则，，，排除B．故选A．
8．C 依题意可知，甲有3种选择，乙也有3种选择，则通过枚举可知甲、乙的参赛歌曲的选择共有9种，其中两人没有相同的参赛歌曲的情况只有1种，就是甲选《难却》《许愿》，乙选《兰亭序》《最初的梦想》，故所求概率为．
9．D 由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱（高为2，底面半径为3），其体积．
10．C 设，则，，则，解得．
11．A 由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为R，高为h，由，得，则，所以该圆锥的表面积为．如图，圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆为，其半径为r，由，得，得，故能制作的零件表面积的最大值为．
12．D 不妨设，且．因为的面积为，所以，代入抛物线的方程可得，则．直线的方程为．由得，所以，．直线的方程，同理可得．因为，所以四边形的面积为．
13．1或－3 因为，所以，解得或．
14． 画出可行域（图略）知，当直线经过点时，z取得最大值．
15． 因为双曲线C的离心率为，所以，则．设双曲线C的两条渐近线的夹角为，则．
16．1351 因为，，所以，，，，，，则从第3项起为周期数列，则．
17．解：（1），
，
因为，所以甲的面试分数的平均分更高．
（2）因为笔试分数和面试分数的加权比为，
所以甲的综合分数为，
乙的综合分数为，
因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙．
18．解：（1）因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，解得．
故的周长为．
（2）在中，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立．
所以，．
19．（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以．
又，所以．由，得平面PAB．
因为平面PAB，所以．
因为F为PA的中点，，所以．
由，得平面PAD．
因为平面PAD，所以．
（2）解：连接．因为为的中点，所以．
因为，，，所以．
又，平面，所以，所以．
取的点上，连接，，，易知平面，且，，，则，，．
在中，，则，
．
设点P到平面CDF的距离为d，则，
解得，即点P到平面CDF的距离为．
20．解：（1）因为，所以．
因为的一个极值点为1，所以，所以．
因为，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以的极小值点为1，符合题意．
（2）设切点为，则，，
所以切线方程为．
将点代入得，
整理得，所以或．
当时，切线方程为；
当时，切线方程为．
21．解：（1）设椭圆E的焦距为2c，依题意，得解得则，
所以椭圆E的方程为．
（2）设，，，，，
则直线AP的方程为，联立方程组
消去y并整理得，
则．
同理由直线BP的方程，与联立，消去y并整理得，
则，
所以，
所以，
化简得．
当时，，由已知得，所以．
当时，M，N，P三点重合，这时．
综上，，即为定值4．
22．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C的普通方程为．
由，得直线l的直角坐标方程为．
（2）直线l的参数方程为（t为参数），
将其代入曲线C的普通方程得，则，，
故．
23．解：（1）因为，所以．
当时，原不等式转化为，解得．
当时，原不等式转化为，解得．
当时，原不等式转化为，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，所以恒成立等价于恒成立．
显然，当时，则，解得或．
当时，则，解得或．
故的取值范围为．