11.1.1 三角形的边同步练习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 11.1.1 三角形的边同步练习题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 529.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-01 14:51:09 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册 11.1.1三角形的边 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（ ）
A． B． C． D．
2．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
3．如图中，三角形的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
5．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．M表示等边三角形 B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形 D．N表示不等边三角形
6．在下列所给的条件中，能组成三角形的是（ ）
A．三条线段的比为2：3：4 B．三条线段的比为1：2：3
C．三条线段的比为4：5：9 D．三条线段的比为7：4：3
7．要组成一个三角形，三条线段长度可取（ ）.
A．9，6，13 B．15，6，8 C．2，3，5 D．3，5，9
8．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
9．三边长的尺寸如图所示，则可能是（ ）
A．1 B．2 C．10 D．16
10．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题
11．如图，在中，的对边是 ．
12．三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ．
13．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
14．若一个三角形两边的长分别为和（三边长均为整厘米数），则这个三角形第三边最长可以是 ．
15．若(三边长度各不相同)的周长为18，其中一条边长为4，则中的最长边x的取值范围为 ．
三、解答题
16．三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于，求三边的长．
17．如图，设为内一点，且，求证：．
18．在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状．
19．如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：．
20．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，求该三角形的周长．
21．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
22．已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
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参考答案：
1．A
【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解．
【详解】解：如图，
中，，E为的中点，为边的高，
则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高，
由图可知，
因此．
故选A．
【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形的分类即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
3．C
【分析】根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行求解即可．
【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个三角形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
4．D
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
5．C
【分析】根据三角形的分类结合图示求解即可．
【详解】解：根据图示可得：M表示三边均不相等的三角形；N表示等边三角形，P表示等腰三角形，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形的分类，理解题意是解题关键．
6．A
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边逐项判断即可解答．
【详解】解：A、∵，所以能够组成三角形，故本选项正确；
B、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
C、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
D、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
7．A
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A、，能组成三角形，故此选项正确；
B、，不能组成三角形，故此选项错误；
C、，不能组成三角形，故此选项错误；
D、，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握在三角形中任意两边之和大于第三边．
8．B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
9．C
【分析】根据三角形三边关系可确定m的范围，根据m的范围即可求解．
【详解】解：由三角形三边关系得：，即，
只有10满足此条件，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，确定第三边的范围是解题的关键．
10．A
【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：
∵点到射线的距离为，
∴，
∵垂直平分，
∴，
当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点），
不能唯一确定；
当时，即点与点重合，
可唯一确定为直角三角形；
当时，即点与点重合或点与点重合，
∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定；
当时，即点在点的右侧，故能唯一确定；
综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
11．/
【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．
【详解】解：在中，的对边是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．
12．钝角三角形
【分析】根据三角形的分类，按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，据此解答即可．
【详解】解：三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，是解题的关键．
13．②③/③②
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，不能构成三角形；
②，可以构成三角形；
③，可以构成三角形；
④，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可解答．
【详解】解：∵一个三角形两边的长分别为和，
∴三角形的第三边长小于，三角形的第三边长大于，
∴这个三角形第三边最长可以是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
15．
【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可．
【详解】∵的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x，
∴第三边的长为：，
∴且，
∴，
根据三角形的三边关系，得：
，
解得：；
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式．
16．当时，三边长分别为；当时，三边长分别为；当时，三边长分别为．
【分析】根据题意可设三角形的三边长分别为，，，结合题意可列出关于x的一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合为奇数分类讨论，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形即可．
【详解】解：设三角形的三边长分别为，，，
∵三角形的周长小于，
∴，
解得：，
最大取9，最小取3，且为奇数．
分类讨论：当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，此时不能构成三角形．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，三角形三边关系．理解题意，找出不等关系，列出不等式组是解题关键．
17．见解析
【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出．
【详解】证明：延长交于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．周长为，是等腰三角形，
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
长是偶数，
，
，
是等腰三角形，
周长为：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．
19．见解析．
【分析】在中，根据三边之间的关系易得，则即，同理在中，，则即，从而得证．
【详解】证明：在中，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键．
20．21或22
【分析】根据三角形三边之间的关系可得，再解不等式得，最后根据x为正整数，得出或，即可求解．
【详解】解：∵2，x，10分别为三角形的三边长，
∴，即，
整理不等式得：，
解得：，
综上：，
∵x为正整数，
∴或，
∴该三角形的周长为：或．
【点睛】考查三角形三边关系，一元一次不等式的整数解，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及一元一次不等式的解法是解题的关键．
21．的周长为17，是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（ ）
A． B． C． D．
2．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
3．如图中，三角形的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列分类正确的是（ ）
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
5．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A．M表示等边三角形 B．M表示锐角三角形
C．P表示等腰三角形 D．N表示不等边三角形
6．在下列所给的条件中，能组成三角形的是（ ）
A．三条线段的比为2：3：4 B．三条线段的比为1：2：3
C．三条线段的比为4：5：9 D．三条线段的比为7：4：3
7．要组成一个三角形，三条线段长度可取（ ）.
A．9，6，13 B．15，6，8 C．2，3，5 D．3，5，9
8．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
9．三边长的尺寸如图所示，则可能是（ ）
A．1 B．2 C．10 D．16
10．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题
11．如图，在中，的对边是 ．
12．三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ．
13．下列各组数：①1，2，3；②2，3，4；③3，4，5；④3，6，9，其中能作为三角形的三边长的是 （填写所有符合题意的序号）．
14．若一个三角形两边的长分别为和（三边长均为整厘米数），则这个三角形第三边最长可以是 ．
15．若(三边长度各不相同)的周长为18，其中一条边长为4，则中的最长边x的取值范围为 ．
三、解答题
16．三角形的三边长是三个连续的奇数，且三角形的周长小于，求三边的长．
17．如图，设为内一点，且，求证：．
18．在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状．
19．如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：．
20．若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，求该三角形的周长．
21．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
22．已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
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参考答案：
1．A
【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解．
【详解】解：如图，
中，，E为的中点，为边的高，
则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高，
由图可知，
因此．
故选A．
【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键．
2．D
【分析】根据三角形的分类即可判定．
【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角．
3．C
【分析】根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行求解即可．
【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个三角形，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
4．D
【分析】根据三角形的分类即可求解．
【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
5．C
【分析】根据三角形的分类结合图示求解即可．
【详解】解：根据图示可得：M表示三边均不相等的三角形；N表示等边三角形，P表示等腰三角形，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形的分类，理解题意是解题关键．
6．A
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边逐项判断即可解答．
【详解】解：A、∵，所以能够组成三角形，故本选项正确；
B、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
C、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
D、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
7．A
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，对每个选项进行判断即可．
【详解】解：A、，能组成三角形，故此选项正确；
B、，不能组成三角形，故此选项错误；
C、，不能组成三角形，故此选项错误；
D、，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握在三角形中任意两边之和大于第三边．
8．B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
9．C
【分析】根据三角形三边关系可确定m的范围，根据m的范围即可求解．
【详解】解：由三角形三边关系得：，即，
只有10满足此条件，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，确定第三边的范围是解题的关键．
10．A
【分析】根据的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：过点作交于点，作点关于的对称点，如图：
∵点到射线的距离为，
∴，
∵垂直平分，
∴，
当，即点在线段上（不含端点）或点在线段上（不含端点），
不能唯一确定；
当时，即点与点重合，
可唯一确定为直角三角形；
当时，即点与点重合或点与点重合，
∵点与点重合时不能构成三角形，故能唯一确定；
当时，即点在点的右侧，故能唯一确定；
综上，若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是或．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
11．/
【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．
【详解】解：在中，的对边是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．
12．钝角三角形
【分析】根据三角形的分类，按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，据此解答即可．
【详解】解：三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，是解题的关键．
13．②③/③②
【分析】利用三角形的三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：①，不能构成三角形；
②，可以构成三角形；
③，可以构成三角形；
④，不能构成三角形；
综上，能作为三角形的三边长的是②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边，三条线段能构成三角形，是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可解答．
【详解】解：∵一个三角形两边的长分别为和，
∴三角形的第三边长小于，三角形的第三边长大于，
∴这个三角形第三边最长可以是，
故答案为：；
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
15．
【分析】根据已知条件可以得到三角形的第三边的长，再根据三角形的三边关系以及x为中的最长边可以得到关于x的不等式组，解出不等式组即可．
【详解】∵的周长为18，其中一条边长为4，这个三角形的最大边长为x，
∴第三边的长为：，
∴且，
∴，
根据三角形的三边关系，得：
，
解得：；
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要能够根据三角形的三边关系分析得到关于x的不等式．
16．当时，三边长分别为；当时，三边长分别为；当时，三边长分别为．
【分析】根据题意可设三角形的三边长分别为，，，结合题意可列出关于x的一元一次不等式组，解出x的取值范围，再结合为奇数分类讨论，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形即可．
【详解】解：设三角形的三边长分别为，，，
∵三角形的周长小于，
∴，
解得：，
最大取9，最小取3，且为奇数．
分类讨论：当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，
当时，三边长分别为，此时不能构成三角形．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，三角形三边关系．理解题意，找出不等关系，列出不等式组是解题关键．
17．见解析
【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出．
【详解】证明：延长交于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
18．周长为，是等腰三角形，
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角形的形状．
【详解】解：，
，
长是偶数，
，
，
是等腰三角形，
周长为：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．
19．见解析．
【分析】在中，根据三边之间的关系易得，则即，同理在中，，则即，从而得证．
【详解】证明：在中，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键．
20．21或22
【分析】根据三角形三边之间的关系可得，再解不等式得，最后根据x为正整数，得出或，即可求解．
【详解】解：∵2，x，10分别为三角形的三边长，
∴，即，
整理不等式得：，
解得：，
综上：，
∵x为正整数，
∴或，
∴该三角形的周长为：或．
【点睛】考查三角形三边关系，一元一次不等式的整数解，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，以及一元一次不等式的解法是解题的关键．
21．的周长为17，是等腰三角形．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵a为方程的解，
∴或1，
当时，，
不能组成三角形，故不合题意；
∴，
∴的周长，
∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．