2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. 或 B. 或
C. D.
2. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 某学校数学教研组举办了数学知识竞赛满分分，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为，，现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为，，全校参赛选手成绩的样本平均数为，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6. 已知，则( )
A. B. C. D.
7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
8. 已知向量，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知是函数的一个零点，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 已知数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
11. 已知直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，，在轴的同侧，则( )
A. B. C. D.
12. 设，，且满足，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数为______ 用数字作答．
14. 若向量，则的面积为______ ．
15. 曲线在点处的切线与直线平行，则 ______ ．
16. 已知函数给出下列四个结论：
函数的图象存在对称中心；
函数是上的偶函数；
；
若，则函数有两个零点．
其中，所有正确结论的序号为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知是等差数列，且，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值；
若，求的值．
19. 本小题分
设甲盒有个白球，个红球，乙盒有个白球，个红球；现从甲盒任取球放入乙盒，再从乙盒任取球．
记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求的分布列及数学期望；
求从乙盒取出个红球的概率．
20. 本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
21. 本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求面积的最大值．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求函数在区间上的最大值；
若存在极大值点，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据并集的概念，即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为复数．
所以复数的虚部为：．
故选A．
按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3.【答案】
【解析】解：高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为，，，
现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，
则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为：：，
设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为，
高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为，，全校参赛选手成绩的样本平均数为，
则，解得．
高一年级参赛选手成绩的样本平均数为．
故选：．
由分层抽样的方法得样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比，设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为，列式即可．
本题考查分层抽样、平均数等基础知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，则，
所以，
则双曲线的离心率为．
故选：．
利用曲线的渐近线方程为，即可得与的关系，再由离心率公式求解．
本题主要考查了双曲线的渐近线、离心率性质．属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：取中点点，连接，，，作图如下：
因为为正方体，所以易知，
在中，因为，，分别为，的中点，所以，
所以，
所以即为异面直线与所成的角，
设正方体棱长为，
易知，，，
所以为等边三角形，所以，
故选：．
取中点点，连接，，，作图，通过证明，得到即为异面直线与所成的角，进而求解即可．
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
又，，
，，
，，，
，即．
故选：．
根据对数函数的单调性比较大小即可．
本题考查函数的性质，考查利用单调性比较大小，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，可得的图象．
由于得到的图象关于轴对称，则的可能取值为．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的可能取值．
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：向量，
则，解得，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意知，
，
，
，
．
故选：．
根据条件得出，然后即可求出的值，从而根据二倍角的余弦公式即可求出的值．
本题考查了函数零点的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
，，，，
，，
以此类推，，，，
．
故选：．
由题意可知，，，以此类推，，，，进而求出的值即可．
本题主要考查了数列的通项公式，考查了并项求和法的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：直线与抛物线交于，两点，
可得，解得，
可得，，
直线与圆交于，两点，，在轴的同侧，
可得，解得，
所以，，
则．
故选：．
联立直线与抛物线方程，求解、坐标，然后求解、坐标，即可求解向量的数量积．
本题考查直线与抛物线的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的数量积的求法，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，令，则，在上递增，且．
当时，；当时，；
当时，，即，则．
又，，，
当时，，即，则．
又，，，故选项D正确．
不确定与的大小关系，故选项AB不正确．
故选：．
因为，所以从而构造，通过分析为单调递增函数，再分类讨论与的大小关系．
本题考查对数值大小的比较，属于难题，解题时需要构造函数以及分析函数的单调性．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以展开式的通项公式为，，，，，
令，则，
所以的系数为．
故答案为：．
将已知关系式化简可得：，然后求出二项式的展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，
的面积为．
故答案为：．
根据向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，即可求解．
本题考查三角形的面积的求解，向量的模公式，向量的夹角公式，三角函数的同角关系，三角形的面积公式，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，
曲线在点处的切线与直线平行，
，解得．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由两直线平行与斜率的关系列式求解值．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得：，且函数的定义域为．
对于：因为，
所以函数是上的偶函数，故正确；
对于：假设函数的图象存在对称中心，
则，
若，可得，
则，
所以，
可知函数是以为周期的周期函数，显然不成立；
若，则不是定值，
这与为定值相矛盾；
综上所述：假设不成立，所以函数的图象不存在对称中心，故错误；
对于：因为，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当当且仅当，时，等号成立时，，当且仅当时，等号成立；
综上所述：，当且仅当时，等号成立，故正确；
对于：令，
整理得，
由可得，整理得，
设，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
由题意可得：函数有两个零点，等价于与有两个不同的交点，
则，
因为，故错误．
故答案为：．
化简可得，再根据函数的对称性，偶函数的定义，零点的定义，以及导数的性质逐一判断即可．
本题考查函数性质的综合运用，考查利用导数研究函数的极值与最值，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，且，，
则，
，．
由可得，，
故
．
数列的前项和为．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件及等差数列的定义推导出公差的值，即可计算出等差数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再根据等比数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列的定义，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：，
由余弦定理可得，
，
．
，，
，
由正弦定理可得．
【解析】由已知利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据正弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：解由题可知，随机变量可能的取值有，，，
所以，
分布列如下：
所以．
若，则此时甲盒取出来了个红球放入乙盒，
此时乙盒有个白球，个红球，所以从乙盒取出个红球的概率为，
若，
则此时甲盒取出来了个白球放入乙盒，
此时乙盒有个白球，个红球，
所以从乙盒取出个红球的概率为，
若，则此时甲盒取出来了个白球，个红球放入乙盒，
此时乙盒有个白球，个红球，所以从乙盒取出个红球的概率为，
所以从乙盒取出个红球的概率为．
【解析】根据超几何分布概率求解；
根据甲盒任取球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解．
本题考查超几何分布，考查概率的计算，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】证明：在正方体中，
且，
且，
所以且，
则为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
解：因为正方体的棱长为，是的中点，
如图，建立空间直角坐标系
所以，，，，
由可得，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
所以，
可得平面的法向量为，
显然平面的法向量可以为，
设二面角的平面角为，
所以，
所以二面角的余弦值．
【解析】证明为平行四边形，得到，即可证明平面．
建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．
21.【答案】解：已知椭圆的离心率为，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
又，
联立，解得，，
则椭圆的标准方程为；
因为过点的直线交椭圆于，两点，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
不妨令，，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递减，
则当，即时，取得最大值，最大值为．
【解析】由题意，将点代入椭圆方程中，结合离心率公式以及，列出等式即可求出椭圆的标准方程；
设出直线的方程和点，的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式得到面积的表达式，利用换元法，令令，，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，
所以函数的在区间上单调递增，
则当时，函数取得最大值，最大值；
易知，
若，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，不符合题意；
若，
令，
解得或，
当，即时，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，不符合题意；
若，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
若存在极大值点，且，
则且，符合题意；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
此时且，
解得，
综上，满足条件的的取值范围为．
【解析】由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
对函数进行求导，分别讨论当，，，这四种情况，利用导数的几何意义求出函数的单调性进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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