2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D. ，
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
5. 研究变量，得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是( )
A. 两个变量的相关系数的绝对值越接近于，它们的相关性越弱
B. 两个变量与的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为，，则模型甲比模拟乙的拟合效果好
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，相应观测值增加个单位
D. 经验回归直线经过样本中心点
6. 抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
9. 曲线的参数方程为为参数，则的普通方程为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的离心率为，则的两条渐近线的夹角为( )
A. B. C. D.
11. 已知点，在抛物线：上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
12. 过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数在区间上的最大值是______．
14. 已知直线的极坐标方程为，则的倾斜角为______ ．
15. 已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为______ ．
16. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且A.若的面积为，则双曲线的离心率为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求的直角坐标方程；
设点的直角坐标为，与的交点为，，求的值．
18. 本小题分
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男
女
合计
通过计算判断，有没有的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了人若从这人中随机选择人进行访谈，求所抽取的人中至少有名女性的概率．
附表及公式
其中，．
19. 本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若时，单调递增，求的取值范围．
20. 本小题分
已知双曲线实轴长为，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为．
求的方程；
经过点的直线分别与的左、右支交于，两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．
21. 本小题分
已知抛物线：焦点为，为上的动点，位于的上方区域，且的最小值为．
求的方程；
过点作两条互相垂直的直线和，交于，两点，交于，两点，且，分别为线段和的中点直线是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故A，，D错误．
故选：．
利用复数的四则运算计算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为双曲线，所以，，
所以，的离心率，故B，，D错误．
故选：．
根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以函数的定义域为，
所以，由有：，
所以函数的单调递减区间为，故B，，D错误．
故选：．
利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，
故选：．
利用复数的四则运算法则即可得出．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：两个变量的相关系数的绝对值越接近于，它们的相关性越强，故A错误；
两个变量与的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为，，
，模型甲比模拟乙的拟合效果差，故B错误；
在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，相应观测值平均增加个单位，观测值无法确定，故C错误；
经验回归直线经过样本中心点，故D正确．
故选：．
由相关系数的大小与相关性的关系判断；由回归系数与拟合效果间的关系判断；由经验回归方程的性质判断与．
本题考查经验回归方程与相关系数，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为抛物线：过点，所以，
故抛物线，
所以的焦点到准线的距离为．
故选：．
根据条件求出的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果．
本题考查了抛物线的方程以及简单几何性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得，，
所以，，
则三角形的周长为．
故选：．
结合双曲线的定义来解决即可．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
先化简函数，再由导数求导公式和运算法则求解即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为．
故选：．
直接利用转换关系，把参数方程转换为普通方程．
本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率为，
，可得，
即，则双曲线的渐近线的倾斜角为，
可得的两条渐近线的夹角为．
故选：．
由双曲线的离心率可得的值，得到一条渐近线的倾斜角，进一步得答案．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设、，
，
．
又，，
，
即．
又，均为正数，
．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
，则．
，将其代入抛物线方程中得，
解得，
等边三角形的边长为，
所以面积为．
故选：．
根据和抛物线对称性，知点、关于轴对称．可知，进而根据抛物线和直线方程求得点的坐标，即可求解面积．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，设切点坐标为，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
，解得或，
即的取值范围是，
故选：．
设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
令而则，
当时，．
当时，．
所以当时取极大值，也是最大值；
故答案为
对函数进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据直线，
转换为直角坐标方程为，整理得，
故直线的斜率，
设直线的倾斜角为，所以，
故．
故答案为：．
首先把直线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出直线的斜率和倾斜角．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：过点作的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为，则切线方程为：，
由可得，即，
所以，故，
所以，
而，
故的面积为．
故答案为：．
设出切线的方程并与抛物线的方程联立，求出切点坐标后可求的面积．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，
设点，其中，易知、，
，，
因为，则，
因为，解得，即点，
所以，，所以，，
所以，，
因此，双曲线的离心率为．
故答案为：．
不妨设点为第一象限内一点，设点，其中，由已知可得出，求出点的坐标，利用三角形面积公式可出、的等量关系式，即可求得双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：根据，把曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．
把直线的参数方程为为参数，
代入，得到；
所以，；
故．
【解析】直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用直线参数方程的几何意义结合一元二次方程根与系数的关系求解．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：根据列联表中数据可得：
，
有的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系；
在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了人，
由表可得这人中男性人，女性人，
所求概率．
【解析】先计算随机变量的值，再根据独立性检验原理，即可求解；
根据古典概型的概率公式，计算即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属基础题．
19.【答案】解：由，得，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
因为时，单调递增，
所以时，恒成立，
即在时恒成立，
设，则，
则时，，时，，
可知时，取极小值，该极小值也即为上的最小值，
所以，即，
所以，单调递增时，的取值范围是．
【解析】利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解．
在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线问题，利用导数研究函数的单调性，属中档题．
20.【答案】解：由题，不妨设点，，的方程为．
因为在上，
则，
即有，
则分别与，连线的斜率之积为，
所以的方程为．
由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为，
联立方程组消去，得，
令，，
则，
因为直线分别交的左、右支于，两点，
则，，
则，的面积，
则，
解得或舍去，则，
所以的方程为．
【解析】由题意设，表示出分别与，连线的斜率之积，再将化简即可得出答案；
联立直线方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出的范围，表示出的面积，将韦达定理代入化简即可得出答案．
本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出代入的面积，然后通过计算得到的值．
21.【答案】解：抛物线：的焦点，准线的方程为，
过点作，垂直为，
所以最小值为点到直线：的距离，
解得，
所以抛物线的方程为：．
设直线的斜率为，直线的方程为，
，，则，
联立，得，
所以，，，
所以，
因为，
所以直线的斜率为，则直线，
同理可得，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以直线过点，
所以直线恒过定点．
【解析】抛物线准线的方程为，过点作，垂直为，则最小值为点到直线：的距离，解得，即可得出答案．
设直线的斜率为，直线的方程为，，，则，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，则，同理可得，写出直线的方程，即可得出答案．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
不妨设，函数定义域为
可得，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，函数取得极小值，极小值，无极大值；
若，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
当时，，，所以，
当，时，，所以，
此时在上恒成立，
则函数在定义域上恒成立，
所以在上单调递增，
当，即时，，
所以函数单调递增，
则恒成立，符合题意；
当，即时，
因为，，
所以在区间上存在一点，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，不符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为．
【解析】由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
构造函数，此时问题转化成在上恒成立，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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