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2023-2024学年苏科版数学九年级上册1.1 一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+=0 B．2x﹣3y+1=0
C．（x﹣3）（x﹣2）=x2 D．（3x﹣1）（3x+1）=3
4．（2023九上·邳州期末）已知关于x的方程的一个根为，则实数b的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2021九上·丹徒月考）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
6．（2021九上·梁溪期末）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（ ）
A．x2＝4 B．x2＋4＝0
C．x2＋4x＋4＝0 D．x2－4x＋4＝0
7．（2020九上·无锡月考）已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个实数根，则m2+2n的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
8．（2018九上·邗江期中）若 ，则关于x的一元二次方程 必有一根为（ ）
A． B． C． D． 或
9．（2018九上·无锡月考）一元二次方程2x2+6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，6，9 B．6，2，9 C．2，6，﹣9 D．6，2，﹣9
10．（2018九上·泰州月考）一元二次方程 的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022九上·连云月考）若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为 ．
12．（2021九上·丹徒月考）若方程 -2x-3=0是关于x的一元二次方程，则k= ．
13．（2021九上·灌云期中）已知m是方程 的一个根，代数式 的值是 .
14．（2019九上·江都期末）已知 是方程 的根，则代数式 的值为 .
15．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
三、解答题
16．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
17．（2021九上·丹徒月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．
18．（2021九上·高港月考）先化简，再求值： ，其中a是方程 的根.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、3x2+=0是分式方程，故此选项错误；
B、2x﹣3y+1=0为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x﹣3）（x﹣2）=x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x﹣1）（3x+1）=3是一元二次方程，故此选项正确．
故选D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为，
∴，解得：，
故答案为：D.
【分析】根据方程解的概念，将x=1代入方程中进行计算可得b的值.
5．【答案】D
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故答案为：D.
【分析】对待求式进行通分可得，根据方程根的概念可得a2+a=1，然后代入计算即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、
，故答案为：错误，
B、 ，
，
原方程没有实数根，故答案为：错误，
C、 ，
，故答案为：错误，
D、 ，
，
，故答案为：正确.
故答案为：D.
【分析】分别求出四个选项中每一个一元二次方程的根，然后判断即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ， 是方程 的两个实数根，
， .
.
故答案为：B.
【分析】由方程根的定义可得 ，将 变形为 ，再根据根与系数的关系找出 ，然后代入数据即可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵ax2+bx+c=0，若a b+c=0，
∴当x= 1时，a b+c=0，
∴此方程必有一个根为 1，
故答案为：C.
【分析】对应一元二次方程ax2+bx+c=0，结合已知条件a b+c=0，可知方程必有一个根为 1。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】方程整理得：2x2+6x﹣9=0，
则二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为﹣9．
故答案为：C．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，因此直接写出二次项系数、一次项系数、常数项即可。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵一元二次方程 可化为 ，
∴化为一元二次方程的一般形式为 ．
故答案为：C.
【分析】先去括号，再移项合并，就可将此方程转化为一元二次方程的一般形式。
11．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1﹣代入方程x2﹣2x+c=0得（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，
解得c=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】将x=1-代入方程，可得到关于c的方程，解方程可求出c的值.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程-2x-3=0是关于x的一元二次方程，
x的最高次项是二次，
，
解得.
故答案为：3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此可得k-1=2，求解即可.
13．【答案】2021
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2021.
【分析】根据方程根的概念可得m2-m=1，将待求式变形为5(m2-m)+2016，据此计算.
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=m代入方程x2﹣2x﹣1=0可得：m2﹣2m﹣1=0，∴m2﹣2m=1，m2=2m+1，∴ = = = = =2×1=2.
故答案为：2.
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2和m2﹣2m的值，利用 ，把m2代入化简即可得到结论.
15．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
16．【答案】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
17．【答案】解：∵a、b满足b＝+3，
∴a-2≥0，a-2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=-5．
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a-2≥0，a-2≤0，则a=2，b=3，根据方程的一个根是1可得a+b+c=0，据此求解可得c的值.
18．【答案】解：原式=
.
∵a是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再约分，然后合并同类项将代数式化简，最后整体代换即可求解.
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2023-2024学年苏科版数学九年级上册1.1 一元二次方程 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为： ，
∴一元二次方程的二次项系数是.
故答案为：.
【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.
2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+=0 B．2x﹣3y+1=0
C．（x﹣3）（x﹣2）=x2 D．（3x﹣1）（3x+1）=3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、3x2+=0是分式方程，故此选项错误；
B、2x﹣3y+1=0为二元一次方程，故此选项错误；
C、（x﹣3）（x﹣2）=x2是一元一次方程，故此选项错误；
D、（3x﹣1）（3x+1）=3是一元二次方程，故此选项正确．
故选D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
4．（2023九上·邳州期末）已知关于x的方程的一个根为，则实数b的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为，
∴，解得：，
故答案为：D.
【分析】根据方程解的概念，将x=1代入方程中进行计算可得b的值.
5．（2021九上·丹徒月考）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】D
【知识点】分式的通分；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故答案为：D.
【分析】对待求式进行通分可得，根据方程根的概念可得a2+a=1，然后代入计算即可.
6．（2021九上·梁溪期末）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（ ）
A．x2＝4 B．x2＋4＝0
C．x2＋4x＋4＝0 D．x2－4x＋4＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、
，故答案为：错误，
B、 ，
，
原方程没有实数根，故答案为：错误，
C、 ，
，故答案为：错误，
D、 ，
，
，故答案为：正确.
故答案为：D.
【分析】分别求出四个选项中每一个一元二次方程的根，然后判断即可.
7．（2020九上·无锡月考）已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个实数根，则m2+2n的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ， 是方程 的两个实数根，
， .
.
故答案为：B.
【分析】由方程根的定义可得 ，将 变形为 ，再根据根与系数的关系找出 ，然后代入数据即可得出结论.
8．（2018九上·邗江期中）若 ，则关于x的一元二次方程 必有一根为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵ax2+bx+c=0，若a b+c=0，
∴当x= 1时，a b+c=0，
∴此方程必有一个根为 1，
故答案为：C.
【分析】对应一元二次方程ax2+bx+c=0，结合已知条件a b+c=0，可知方程必有一个根为 1。
9．（2018九上·无锡月考）一元二次方程2x2+6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，6，9 B．6，2，9 C．2，6，﹣9 D．6，2，﹣9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】方程整理得：2x2+6x﹣9=0，
则二次项系数为2，一次项系数为6，常数项为﹣9．
故答案为：C．
【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，因此直接写出二次项系数、一次项系数、常数项即可。
10．（2018九上·泰州月考）一元二次方程 的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】∵一元二次方程 可化为 ，
∴化为一元二次方程的一般形式为 ．
故答案为：C.
【分析】先去括号，再移项合并，就可将此方程转化为一元二次方程的一般形式。
二、填空题
11．（2022九上·连云月考）若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1﹣代入方程x2﹣2x+c=0得（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，
解得c=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】将x=1-代入方程，可得到关于c的方程，解方程可求出c的值.
12．（2021九上·丹徒月考）若方程 -2x-3=0是关于x的一元二次方程，则k= ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程-2x-3=0是关于x的一元二次方程，
x的最高次项是二次，
，
解得.
故答案为：3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此可得k-1=2，求解即可.
13．（2021九上·灌云期中）已知m是方程 的一个根，代数式 的值是 .
【答案】2021
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2021.
【分析】根据方程根的概念可得m2-m=1，将待求式变形为5(m2-m)+2016，据此计算.
14．（2019九上·江都期末）已知 是方程 的根，则代数式 的值为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x=m代入方程x2﹣2x﹣1=0可得：m2﹣2m﹣1=0，∴m2﹣2m=1，m2=2m+1，∴ = = = = =2×1=2.
故答案为：2.
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2和m2﹣2m的值，利用 ，把m2代入化简即可得到结论.
15．（2023九上·凤凰期末）已知：是关于x的一元二次方程，则m= .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义可得： ，
解得：.
故答案为：-3.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，则m-1≠0且|m+2|=2，联立求解可得m的值.
三、解答题
16．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
【答案】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
17．（2021九上·丹徒月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．
【答案】解：∵a、b满足b＝+3，
∴a-2≥0，a-2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=-5．
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a-2≥0，a-2≤0，则a=2，b=3，根据方程的一个根是1可得a+b+c=0，据此求解可得c的值.
18．（2021九上·高港月考）先化简，再求值： ，其中a是方程 的根.
【答案】解：原式=
.
∵a是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴原式= .
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再约分，然后合并同类项将代数式化简，最后整体代换即可求解.
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