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专题21.1 一元二次方程（定义、一般形式、解）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A．x4﹣3x2+2＝0 B．4x2﹣3xy﹣5y2＝0
C．0 D．x2+2x
【答案】C
【解析】A、该方程未知数的最高次数是4，属于一元四次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程中含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
故选C．
2．若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数
【答案】B
【解析】根据题意得：k≠0．
故选B．
3．一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（ ）
A．8 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】方程可化为：x2+4x﹣3＝0，
二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．
所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，
故选D．
4．将一元二次方程x2﹣（x+5）＝2（3x﹣2）化为一般形式是（ ）
A．x2﹣x+5＝6x﹣4 B．x2﹣7x+1＝0
C．x2﹣7x﹣1＝0 D．x2﹣7x﹣9＝0
【答案】C
【解析】去括号，得
x2﹣x﹣5＝6x﹣4，
移项、合并同类项，得
x2﹣7x﹣1＝0，
故选C．
5．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【解析】2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，
故选C．
6．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
【答案】A
【解析】由题意可知：，
解得：m=3，
故选A．
7．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴﹣a﹣2b＝﹣（a+2b）＝1，
故选B．
8．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选C．
9．已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【答案】D
【解析】解：将x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，
解得：k＝﹣5，
∴k的值为﹣5．
故选D．
10．若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2 的值是（ ）
A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0
【答案】C
【解析】∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故选C．
二、填空题
11．将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．
【答案】2
【解析】（x+1）（x+2）=0，
x2+3x+2=0，
常数项为2，
故答案为：2．
12．（2022春 兰考县期中）x＝1 是 （填“是”或“不是”）方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
【答案】是
【解析】把x＝1分别代入方程4x2﹣9＝2x﹣7的左右两边，
得：左边＝4×12﹣9＝﹣5，右边＝2×1﹣7＝﹣5，
左边＝右边，
则x＝1是方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
故答案为：是．
13．将（x＋3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般式为_________
【答案】4x2-3x-9=0
【解析】（x+3）2-3x=5x2，
x2+6x+9-3x-5x2=0，
-4x2+3x+9=0，
4x2-3x-9=0，
即一般式是4x2-3x-9=0，
故答案为：4x2-3x-9=0．
14．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 __．
【答案】-3
【解析】，
，
，
一元二次方程化为一般形式后不含一次项，
且，
解得：，
故答案为：．
15．若m是方程x2﹣3x+2＝0的根，则代数式1m的值是 ．
【答案】﹣2
【解析】∵m是方程x2﹣3x+2＝0的根，
∴m2﹣3m+2＝0，
∵m≠0，
∴m﹣30，
即m3，
∴1m＝1﹣（m）＝1﹣3＝﹣2．
16．已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是 .
【答案】a≥1且a≠3
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴a﹣3≠0，得 a≠3，
又∵二次根式有意义，
∴a﹣1≥0，得 a≥1，
∴a≥1且a≠3．
故本题的答案是a≥1且a≠3．
17．已知是一元二次方程的一个根，则的值为_________．
【答案】1
【解析】将x=1代入该方程，得：
解得：．
故答案为：1．
18．若是方程的一个解，则代数式的值是___________．
【答案】
【解析】是方程的一个解，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
19．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）；
（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）；
（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3；
（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）．
【解析】解：（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1），
整理得，3p﹣5＝0，不是一元二次方程；
（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3），
整理得，x2＝0，是一元二次方程；
（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3，
整理得，z2﹣z＝0，是一元二次方程；
（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5），
整理得，2x3﹣6x2+16x＝0，不是一元二次方程．
20．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）；
（2）．
【解析】（1）化简后为，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为；
（2）化简后为，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
21．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
【解析】解：（1）A＝+（m﹣3）（2m+1）
＝+（m﹣3）（2m+1）
＝m+2m2+m﹣6m﹣3
＝2m2﹣4m﹣3；
（2）∵m是方程x2﹣2x＝0的根，
∴m2﹣2m＝0，
∴A＝2（m2﹣2m）﹣3＝2×0﹣3＝﹣3．
22．已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
【解析】∵m是方程x2+x﹣3＝0的解，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∴m3+2m2﹣2m+2022
＝m3+m2+m2﹣2m+2022
＝m（m2+m）+m2﹣2m+2022
＝3m+m2﹣2m+2022
＝m2+m+2022
＝3+2022
＝2025，
∴式子m3+2m2﹣2m+2022的值为2025．
23．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
【解析】（1）方程为一元二次方程，
，
解得：，
所以当为或时，方程方程为一元二次方程；
（2）方程为一元一次方程，
或或，
解得，或，0，
故当为2或，0时，方程方程为一元一次方程．
24．已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：
（1）2a2﹣6a﹣3；
（2）a2+a﹣2；
（3）a﹣a﹣1．
【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴2a2﹣6a﹣3＝2（a2﹣3a）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5；
（2）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a+＝3，
∴a2+a﹣2＝（a+）2﹣2＝32﹣2＝7；
（3）a﹣a﹣1＝＝±＝±．
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专题21.1 一元二次方程（定义、一般形式、解）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A．x4﹣3x2+2＝0 B．4x2﹣3xy﹣5y2＝0
C．0 D．x2+2x
2．若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数
3．一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（ ）
A．8 B．﹣1 C．0 D．2
4．将一元二次方程x2﹣（x+5）＝2（3x﹣2）化为一般形式是（ ）
A．x2﹣x+5＝6x﹣4 B．x2﹣7x+1＝0
C．x2﹣7x﹣1＝0 D．x2﹣7x﹣9＝0
5．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
6．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
7．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
8．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
9．已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
10．若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2 的值是（ ）
A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0
二、填空题
11．将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．
12．（2022春 兰考县期中）x＝1 是 （填“是”或“不是”）方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
13．将（x＋3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般式为_________
14．关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 __．
15．若m是方程x2﹣3x+2＝0的根，则代数式1m的值是 ．
16．已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是 .
17．已知是一元二次方程的一个根，则的值为_________．
18．若是方程的一个解，则代数式的值是___________．
三、解答题
19．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）；
（2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）；
（3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3；
（4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）．
20．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）；
（2）．
21．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
22．已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
23．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
24．已知a2﹣3a+1＝0，求下列各式的值：
（1）2a2﹣6a﹣3；
（2）a2+a﹣2；
（3）a﹣a﹣1．
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