1.2.1子集、真子集 讲义（含答案）

编号：003 课题: §1.2.1 子集、真子集
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解集合之间包含的含义．
2、能识别给定集合的子集．
3、能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
本节重点难点
重点：理解集合之间包含的含义；
难点：能使用Venn图表示集合的基本关系．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1. 子集的概念及记法：
如果集合A的_任意一个元素_都是集合B的元素，则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为________或________读作“_________________”或“_________________”.
符号语言可表示为：_________________________________
图形语言可表示为： _____________________或___________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
试一试
举个子集例子________________________________________
2.子集的性质：
① AA(自身性) ； ② （空集是任何集合的子集）； ③,则（传递性）
想一想:与能否同时成立？若能A与B的关系是什么？
3.真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,
记为__________或___________读作“__________________”或“__________________”
符号语言可表示为：________________________________________________________
试一试
举个真子集例子_______________________________________________________
4.真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集，符号表示为___________________________________.
②真子集具备传递性，符号表示为_______________________________________________.
【课前基础演练】
题1．下列六个关系式：
①{a，b} {b，a}；②{a，b}＝{b，a}；③0＝ ；
④0∈{0}；⑤ ∈{0}；⑥ {0}．
其中正确的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
题2．已知集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是( )
A．－1 B．1 C．3 D．4
题3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F T；
③S T；④S F；
⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
题4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
题5．集合，则下列关系正确的是( )
A．M N B．M＝N
C．N M D．MN
题6．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )
A．M＝P B．MP
C．PM D．M与P没有公共元素
题7（多选题）．已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有( )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1} D．{1，－2，2，4}
题8．(多选题)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有 (　　)
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4} C．{1} D．{1，－2，2，4}
题9．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝______．若集合B满足{0}B A，则集合B＝________．
题10．已知集合，B＝{b，ba，－1}，若A＝B，则a＋b＝________．
题11．集合A＝{ x |2＜x＜4}，集合M＝{x |3＜x＜2k ＋1}，若集合M是集合A的子集，求实数k的取值范围．
【当堂巩固训练】
题12．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，，则集合A，B间的关系为( )
A．AB B．AB C．A＝B D．A B
题13．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合中，则不同的集合共有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
题14（多选题）．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是( )
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(1，1)
题15（多选题）．已知集合M＝{x|－ A．P＝{－1，0，1}
B．Q＝{－1，0，1，2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤ ，x∈N}
题16．满足的集合A的个数为________．
题17．若集合A＝{x|ax2＋(a－6)x＋2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝__________.
题18．已知集合M {1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6－a∈M，试求M所有可能的结果．
题19．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
【综合突破拔高】
题20．以下六个命题中：0∈{0}；{0} ；0.3 Q；0∈N；{a，b} {b，a}；{x|x2－2＝0，x∈Z}是空集．正确的个数是( )
A．4 B．3 C．5 D．2
题21．已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )
A．{0，1} B．{x|x2＝1}
C．{x|x2＞0} D．R
题22．集合，若3∈M且NM，则a的取值为( )
A．－1或3 B．4或3
C．－1或－4 D．－4或1
题23．已知集合A＝的子集只有两个，则实数a的值为( )
A． B．0 C． 或0 D．无解
题24（多选题）．设A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，若C A，且B C.则集合C可以是( )
A．{1，2} B．{1，2，3}
C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}
题25（多选题）．已知集合M＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
A．3∈M B．{－3}∈M
C． M D．{3，－3} M
题26（多选题）．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是 (　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，1)
题27．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为________，M的非空真子集的个数为______．
题28．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是______．
题29．判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
题30．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
编号：003 课题: §1.2.1 子集、真子集
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解集合之间包含的含义．
2、能识别给定集合的子集．
3、能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
本节重点难点
重点：理解集合之间包含的含义；
难点：能使用Venn图表示集合的基本关系．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1. 子集的概念及记法：
如果集合A的_任意一个元素_都是集合B的元素，则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为___或__读作“_A包含于B__”或“_B包含A__”.
符号语言可表示为：__若，则____
图形语言可表示为： _____或___
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
试一试
举个子集例子_____
2.子集的性质：
① AA(自身性) ； ② （空集是任何集合的子集）； ③,则（传递性）
想一想:与能否同时成立？若能A与B的关系是什么？
能同时成立.此时（两边夹法则）__
3.真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,
记为___或___读作“_A真包含于B_”或“_B真包含A__”
符号语言可表示为：_若，则_，且存在，有__
试一试
举个真子集例子____
4.真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集，符号表示为__（不为）__.
②真子集具备传递性，符号表示为__若,，则__.
【课前基础演练】
题1．下列六个关系式：
①{a，b} {b，a}；②{a，b}＝{b，a}；③0＝ ；
④0∈{0}；⑤ ∈{0}；⑥ {0}．
其中正确的个数为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】选C.由子集定义任何集合都是本身的子集知，①正确，由集合中元素的无序性知②正确，空集中没有任何元素但它是一个集合，而0是一个实数，③错误，由集合的定义，④正确，“∈”是连接元素与集合的关系，⑤错误，空集是任何集合的子集，⑥正确．正确的个数有4个．
题2．已知集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是( )
A．－1 B．1 C．3 D．4
【解析】选B.集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则集合B包含集合A的所有元素，
x＝1时，代入A检验，A＝{2，1}，符合题意，
x＝2时，代入A检验，A＝{5，2}，不符合题意，
x＝3时，代入A检验，A＝{10，3}不符合题意，
综上，实数x的值是1.
题3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F T；
③S T；④S F；
⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
【解析】选D.元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部包含，故②④错．
题4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【解析】选A.因为集合A＝{x|x＜a}，
B＝{x|0＜x＜2}．
因为B A，所以a≥2.
题5．集合，则下列关系正确的是( )
A．M N B．M＝N
C．N M D．MN
【解析】选C.因为，，n＋2表示整数，2n＋1表示奇数，故N M，故选项A，B，D错误，选项C正确
题6．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )
A．M＝P B．MP
C．PM D．M与P没有公共元素
【解析】选B.M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}＝{2，5，10…}，P＝{y|y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1，b∈N*}＝{1，2，5，10…}，所以MP.
题7（多选题）．已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有( )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1} D．{1，－2，2，4}
【解析】选AC.因为非空集合M同时满足下列条件：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M，则符合条件的集合M中存在的元素有：
－1，1，－2，2.
题8．(多选题)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有 (　　)
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4} C．{1} D．{1，－2，2，4}
【解析】选AC.因为非空集合M同时满足下列条件：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M，则符合条件的集合M中可能存在的元素有：－1，1.
题9．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝______．若集合B满足{0}B A，则集合B＝________．
【解析】因为解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
所以集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}＝{－1，0}，
因为集合B满足{0}B A，所以集合B＝{－1，0}．
答案：{－1，0} {－1，0}
题10．已知集合，B＝{b，ba，－1}，若A＝B，则a＋b＝________．
【解析】若＝－1，即a＝－1时，b＝2，经验证符合题意；若＝－1，即a＝b，则无解．所以a＋b＝1.
答案：1
题11．集合A＝{ x |2＜x＜4}，集合M＝{x |3＜x＜2k ＋1}，若集合M是集合A的子集，求实数k的取值范围．
【解析】根据题意，集合M是集合A的子集，则分2种情况讨论：
①M＝ ，则2k＋1≤3，解得k≤1，
②M≠ ，则有解得1＜k≤，
综上可得k≤ ，
故实数k的取值范围为 .
【当堂巩固训练】
题12．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，，则集合A，B间的关系为( )
A．AB B．AB C．A＝B D．A B
【解析】选B. ＝{(x，y)|y＝x且x≠0}，所以BA.
题13．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合中，则不同的集合共有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解析】选A.因为A是B的真子集，y在集合{0，1，2，3，4}中，由集合元素的互异性知y＝0或y＝3，当y＝3时，B＝{1，2，3，4}，x可能的取值为2，3，4；当y＝0时，B＝{0，1，2，4}，x可能的取值为0，2，4；由互异性可知集合{x，y}共有2＋2＝4(个).
题14（多选题）．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是( )
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(1，1)
【解析】选ACD.当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合．
题15（多选题）．已知集合M＝{x|－ A．P＝{－1，0，1}
B．Q＝{－1，0，1，2}
C．R＝{y|－πD．S＝{x||x|≤ ，x∈N}
【解析】选AD.因为集合M＝{x|－所以在A中，P＝{－1，0，1}是集合M的子集，故A正确；在B中，Q＝{－1，0，1，2}不是集合M的子集，故B错误；在C中，R＝{y|－π题16．满足的集合A的个数为________．
【解析】，所以1是A的元素，2，3可能是A的元素，但不能同时存在．所以集合A的个数有22－1＝3个．
答案：3
题17．若集合A＝{x|ax2＋(a－6)x＋2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝__________.
【解析】因为集合A＝{x|ax2＋(a－6)x＋2＝0}有且仅有两个子集，所以集合A中有且仅有一个元素， 即方程ax2＋(a－6)x＋2＝0有一个根或者两个相等的实数根．当a＝0时， 方程仅有一个实数根， 满足题意；
当a≠0时， 令Δ＝(a－6)2－8a＝a2－20a＋36＝0解得a＝2或a＝18.综上a＝0或2或18.
答案：0或2或18
题18．已知集合M {1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6－a∈M，试求M所有可能的结果．
【解析】若M只含1个元素，则M＝{3}；
若M只含2个元素，则M＝{1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M＝{1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M＝{1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M＝{1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
题19．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
【解析】(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝ 时，由 x－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；
当B≠ ，a≠0时，集合B＝ ，
由B A得 ＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为 .
【综合突破拔高】
题20．以下六个命题中：0∈{0}；{0} ；0.3 Q；0∈N；{a，b} {b，a}；{x|x2－2＝0，x∈Z}是空集．正确的个数是( )
A．4 B．3 C．5 D．2
【解析】选C.根据元素与集合间的关系可判定0∈{0}、0∈N正确，0.3 Q不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0} 、{a，b} {b，a}、{x|x2－2＝0，x∈Z}是空集正确．
题21．已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )
A．{0，1} B．{x|x2＝1}
C．{x|x2＞0} D．R
【解析】选A.因为0∈M，1∈M，所以{0，1} M，故选A.
题22．集合，若3∈M且NM，则a的取值为( )
A．－1或3 B．4或3
C．－1或－4 D．－4或1
【解析】选A.①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝，满足题意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，满足题意；当a＝4时，M＝，不满足题意．综上可知a＝－1或3.
题23．已知集合A＝的子集只有两个，则实数a的值为( )
A． B．0 C． 或0 D．无解
【解析】选C.由集合A的子集有两个，则集合A有一个元素，当a＝0时，
A＝ ＝{x|－3x＋2＝0}＝ ，符合题意，当a≠0时，ax2－3x＋2＝0有一个解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝ ，综上可得a＝0或a＝ .
题24（多选题）．设A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，若C A，且B C.则集合C可以是( )
A．{1，2} B．{1，2，3}
C．{1，2，4} D．{1，2，3，4}
【解析】选ABC.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，B C，所以C中至少有元素1，2.又因为C A，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}．
题25（多选题）．已知集合M＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
A．3∈M B．{－3}∈M
C． M D．{3，－3} M
【解析】选ACD.根据题意，集合M＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个选项：
对于A，3∈M，3是集合M的元素，正确；
对于B，{－3}是集合，有{－3} M，错误；
对于C， M，空集是任何集合的子集，正确；
对于D，{3，－3} M，任何集合都是其本身的子集，正确．
题26（多选题）．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是 (　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，1)
【解析】选ACD.当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合．
题27．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为________，M的非空真子集的个数为______．
【解析】小于5的质数有2，3，即M＝，故M的真子集的个数为22－1＝3，非空真子集的个数为3－1＝2.
答案：3 2
题28．已知集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是______．
【解析】集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}
＝ ，若B A，则－ ≤－1，p≥4，
则实数p的取值范围是{p|p≥4}．
答案：{p|p≥4}
题29．判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
【解析】(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．
(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．
题30．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
【解析】因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
所以A的子集有 ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．