22.1 一元二次方程 课件(共18张PPT) 华师大版数学九年级上册

(共18张PPT)
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
学习目标
1. 理解一元二次方程的概念；(重点)
2. 了解一元二次方程的一般形式； (重点)
3. 经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）
导入新课
1. 你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2. 什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax + b = 0 (a ≠ 0)
3. 我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答.
新课讲授
问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少
分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.
设绿地的宽为 x 米，不难列出方程
整理得
x ＋10x－900 =0. （1）
x(x +10) = 900.
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册。求这两年的年平均增长率。
分析：设这两年的年平均增长率为 x.
已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册.
同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x) = 5(1+x) (万册).
可列得方程
5(1+x) = 7.2
整理可得
5x ＋10x－2.2=0 （2）
思考
问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)。显然，这两个方程都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？
区别：方程(1)和方程(2)中含有未知数的项的最高次数是2，
而一元一次方程中含有未知数的项的最高次数是 1.
共同特点：①都只含有一个未知数；②都是整式方程。
概括归纳
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是
ax +bx+c=0 (a、b、c是已知数, a≠0),
其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
练一练
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2 = 3x
(x - 1)2 - 9 = 0
x(x + 2) = 3(x + 2)
4x2 - 3x = 0
x2 - 2x - 8 = 0
x2 - x - 6 = 0
4
-3
0
1
-2
-8
1
-1
-6
（1）列表填空：
你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
议一议
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数 a ≠ 0.
练习
将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1) 3x －x = 2; (2) 7x－3 = 2x ;
解:（1）一般形式为3x －x－2 = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-1，-2。
（2）一般形式为2x －7x＋3 = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-7，3。
(3) x(2x－1) － 3x(x－2) = 0; (4) 2x(x－1) = 3(x + 5) －4.
解:（3）一般形式为x －5x = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，-5，0。
（4）一般形式为2x －5x－11 = 0
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-5，-11。
一元二次方程的根
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 － 2 = x 的根.
当堂练习
1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2－3x + 2 = 0 (x1 = 1， x2 = 2，x3 = 3)
2.构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为 2.
当 x1 = 1 时，x2 － 3x + 2 = 1 － 3 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x2 = 2 时，x2 － 3x + 2 = 4 － 6 + 2 = 0，故是该方程的解；
当 x3 = 3 时，x2 － 3x + 2 = 9 － 9 + 2 = 2 ≠ 0，故不是该方程的解.
x2 - 2x = 0 (答案不唯一)
3.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，
求 a 的值.
解：由题意，把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0
9 + 4a = 0
4a = -9
4. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，
求 a + b + c 的值.
解：由题意得
思考：若 a + b + c，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
的一个根吗？
解：由题意得
∴方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根是 1.
课堂小结
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 (a ≠ 0) 的形式，我们把 (a，b，c 是已知数，a ≠ 0) 称为一元二次方程的一般形式.
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
课后作业
完成习题22.1
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