22.2 第4课时 一元二次方程根的判别式 课件(共15张PPT) 华师大版数学九年级上册

(共15张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点)
2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点)
3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋)2 = （*）
只有当b －4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋ =±
也就是说，只有当一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0)的系数a、b、c满足条件b －4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b －4ac＜0会怎么样
如果b －4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
分析：观察方程（*）, 我们发现有如下三种情况:
(1)当b －4ac＞0时，方程（*）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
x1 = ，x2 =
(2)当 b －4ac = 0时，方程（*）的右边是0，
因此方程有两个相等的实数根：
x1 = x2 = -
(3)当 b －4ac＜0 时，方程（*）的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边(x＋)2 ≥ 0，因此方程没有实数根。
归纳概括
这里的b －4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0)的实数根的情况：
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，方程没有实数根.
典例精析
例7 不解方程，判断下列方程的根的情况:
3x2 = 5x－2
4x 2 －2x＋ = 0
(3) 4( y2 +1 )－y = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2－5x＋2 = 0.
因为Δ =(-5)2－4×3×2 = 25－24 =1＞0，
所以方程有两个不相等的实数根。
解：(2)因为Δ =(-2)2－4×4× = 4－4 =0
所以方程有两个相等的实数根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0.
因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0，
所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
3x ＋5x = 4；
2x －x －2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0.
∵b －4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(2)原方程可变形为 x2 － 2x＋2 = 0.
∵b －4ac =(-2)2－4×1×2= -4＜0，
∴原方程无实数根。
(3) 4( y2－y )＋1 = 0；
(4) 2(x＋1) = 5x
解：(3)原方程可化为 4y2 －4y＋1 = 0.
∵b －4ac =(-4)2－4×4×1= 0，
∴原方程有两个相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0.
∵b －4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0，
∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根，他的说法是否正确？为什么？
解：他的说法正确。
∵ a、c异号，∴ ac＜0
∴ －4ac＞0
又∵ b ≥ 0，∴b －4ac＞0
∴当系数a、c异号时，方程ax +bx +c=0 (a≠0)一定有两个不相等
的实数根。
试一试
已知关于x的方程2x －(3＋4k)x +2k +k = 0
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
解：Δ=[-(3＋4k)] －4×2×(2k +k) = 16k ＋24k＋9－16k －8k = 16k＋9
（1）当16k＋9＞0，即k＞- 时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当16k＋9=0，即k= - 时，方程有两个相等的实数根。
（3）当16k＋9＜0，即k＜ - 时，方程没有实数根。
课堂小结
对于一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0)，
当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ＜0 时，方程没有实数根.
课后作业
完成课后相关习题
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