华师大版数学九年级上册22.3 第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
学习目标
1. 能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点）
2. 体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点）
3. 经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
回顾与思考
问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？
问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？
某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
分析 若每次降价的百分率为，则第一次降价后的零售价为原来的(1－x)倍，即56(1－x)元，第二次降价后的零售价为 56(1－x)元的(1－x)倍。
解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得
56(1－x)2 = 31.5
解这个方程，得
x1= 0.25，x2 = 1.75
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2 = 1.75不符合题意。经检验，x = 0.25 = 25% 符合本题要求。
答：每次降价的百分率为25%.
典例精析
某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少
分析 翻一番，即为原产值的2 倍. 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位.
解：设平均年增长率为x，原产值为a元.
根据题意，得a(1＋x) =2a，即1＋x=±，
所以x1=－1， x2 =-－1（舍去）
所以x ≈ 0.414=41.4%，即平均年增长率约为41.4%.
探索
如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？
又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番
若为原产值的1.5倍、1.2倍，……，则可列方程a(1＋x) =1.5a，a(1＋x)
=1.2a，……，可解得平均年增长率分别约为22.5%，9.5%，……
设第一年的增长率为x，则第二年的增长率为2x
根据题意，得a(1＋x) (1＋2x)=2a，
整理，得2x ＋3x－1=0
解得x1=，x2=（舍去）
所以x ≈ 0.281=28.1%，即当第一年的增长率约为28.1%时，可以实现两年后产值翻一番。
归纳小结
概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？
　　“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
当堂练习
1.某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为3 000 千克，出油率为 55%。改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2 025 千克。已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是每公顷产量增长率的一半，求两者的增长率，(精确到1%)
解：设新品种花生的出油率增加x，则每公顷产量的增长率为2x，
根据题意，得 3 000(1+2x)(55%+x)=2 025.
整理，得 80x2+84x－5=0，
解得x1=，x2=（不合题意，舍去）
∴x = ≈0.06 = 6%，∴2x ≈ 12%
答：两者的增长率分别约为 6%，12%.
2.某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40 元。经市场预测，销售定价为 52元时，可售出180台；销售定价每增加(或降低)1 元，销售量将减少(或增多)10台。商店若希望获利2000 元，则应进货多少台 销售定价为多少
本题如何设未知数较适宜 需要列出哪些相关量的代数式
所列方程的解是否都符合题意？如何解释？
请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少
解：(1)本题设销售定价为x元较适宜，需要列出相关量的代数式为每台的利润：(x－40)元，销售量：[180+10(52－x)]台。
(2)所列方程为[180+10(52－x)](x－40)=2 000.
解得 x1=50，x2=60.
当x=50 时，销售量为 200 台；
当x=60 时，销售量为 100 台。
两个解都符合题意，即当销售定价为 50元时，应进货200 台；当销售定价为 60 元时，应进货 100 台。
(3)设所获利润为 W 元.
则W=[180+10(52－x)](x -40)
= -10(x2-110x + 2 800)
= -10(x2-110x + 3 025)+2 250
= -10(x－55)2 + 2 250
∵(x－55)2≥0，∴-10 (x-55)2≤0
∴ W ≤ 2 250
∴商店要获得最大利润，应进货 180+10×(52-55)=150(台)，销售定价为 55 元。
3. 某市人均居住面积为 14.6 平方米，计划在两年后达到 18 平方米。在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等。请你把问题补充完整，再给出解答。
解：本题是一道开放性问题，可以设想各种不同情境，变换条件进行探索，答案不唯一.
如补充条件：该市现有人口 10 万，预计今后两年每年人口增长 1 万，求这两年每年住房面积的平均增长率。
解答过程：设每年住房面积的平均增长率为 x.
则可列方程 14.6×10×(1+x)2=18×12，
整理，得 73x2＋146x－35 = 0.
解得x1 ≈ 0.216 = 21.6%，
x2 ≈ -2.216 (舍去)
答：这两年每年住房面积的平均增长率约为 21.6%
4.商场某种商品的进价为每件 100 元，当售价定为每件150 元时平均每天可销售 30 件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元(x 为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含 x 的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？
2x
(50－x)
解：(2)设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到2100 元．
根据题意，得
(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得 x2－35x＋300＝0，
解得 x1＝15，x2＝20.
答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价 15 元或 20 元时，商场日盈利可达到 2 100 元．
5.地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为 x，则依题意列方程
10 000(1＋x)2＝12 100，
解方程，得
x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10％．
答：捐款的增长率为 10％；
(2)12 100×(1＋10％)＝13 310(元)．
答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款 13 310元．
课堂小结
1.用一元二次方程解变化率问题
规律：
变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量．
注意：
有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解．在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验．
2．利润问题
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(2)利润率＝ ×100％
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润
课后作业
完成习题22.3
谢谢观看
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