华师大版数学九年级上册23.3 第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
第3课时 利用两边和一夹角、三边判定两个三角形相似
学习目标
1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3；（重点）
2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.（难点）
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A
B
C
D
观察图，如果有一点 E 在边 AC 上移动，那么点 E 在什么位置时能使△ADE 与△ABC 相似呢？
图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为。将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE= AC时， △ADE与△ABC似乎相似，此时 = .
猜想
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
下面我们来证明上述猜想.
已知：在 △ABC 与 △A1B1C1 中，已知∠A = ∠A1， = .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
B
A
C
E
D
B
A
C
证明：在边AB 或它的延长线上截取AD=A1B1，过点 D作BC的平行线交AC于点E，则
△ADE∽△ABC，
∴ =
∵ = ，AD = A1B1，
∴ AE = A1C1.
在△ADE和△ A1B1C1中，
∵AD = A1B1， ∠A=∠A1，AE = A1C1
△ADE≌△A1B1C1 ，
△ABC∽△A1B1C1
这样我们又有了一种判定两个三角形相似的方法，即
相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
典例精析
54
30
36
45
E
A
F
C
B
例4 证明图中△AEB 和△FEC 是否相似？
证明：∵ = = 1.5，
= = 1.5
∴ = .
又∵∠AEB = ∠FEC
∴ △AEB ∽△FEC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
∴ DE =B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
△ABC∽△A′B′C′.
∴ ， .
又 ，AD = A′B′，
∴
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC.
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
归纳总结
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似。
A
B
C
C′
B′
A′
相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三形相似.
类似于前两个判定定理的证明，我们也可以证明这个判定定理.
例5 在△ABC和△A′B′C′中，AB = 6cm，BC=8 cm，AC =10 cm，A'B' =18 cm，B'C'=24 cm，A'C'=30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似。
证明：∵ = = ，
= =
= = .
∴ =
∴ △ABC∽△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)
练一练
解：∵ ，
∴△ABC∽△ADE .
∴∠BAC =∠DAE .
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD =∠CAE .
1.如图，已知 ，试说明∠BAD =∠CAE.
A
D
C
E
B
2. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
课堂小结
相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简单地说：三边对应成比例，两三角形相似.
相似三角形的判定定理:
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2：如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
课后作业
完成第3课时练习
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