高二数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
2. 若随机变量，且，，则的值为
A. B. C. D.
3. 某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态 分布， 其概率分布密度函数为，，若，则
A. B. C. D.
4. 函数在区间的最小值为
A. B. C. D.
5. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业 第年的生产利润为 （单位：亿元），现统计前年的数据为， ，， ，根据 该组数据可得关于的回归直线方程为，且， 预测改进后该 企业第年的生 产利润为
A.亿元 B.亿元 C.亿元 D.亿元
6. 从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为
A. B. C. D.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，则“为奇函数”是“为偶 函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 已知函数，若，，，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列求导运算正确的是
A. B. C. D.
10.在的展开式中
A.常数项为 B.各项二项式系数的和为
C.各项系数的和为 D.各项系数的绝对值之和为
11.已知实数，满足，则
A. B. C. D.
12.已知函数，则
A.存在，使不存在极小值
B.当时，在区间单调递减
C.当时，在区间单调递增
D.当时，关于的方程实数根的个数不超过
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数是偶函数，则实数 .
14.有甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有 种（用数字作答）.
15.写出曲线过坐标原点的一条切线方程 .
16.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，， ， 则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
18.（12分）
某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据.
男生/人 女生/人
有自主创业打算
无自主创业打算
（1）若，，根据调查数据判断，是否有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
（2）若，，从这些学生中随机抽取一人.
（ⅰ） 若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
（ⅱ）判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立.
附：.
19.（12分）
根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）.
一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下：
男生/次
女生/次
（1）从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率；
（2）若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望.
20.（12分）
已知函数.
（1）当时，求在区间的最大值；
（2）若存在唯一的零点，且，求实数的取值范围.
21.（12分）
在信道内传输，信号，信号的传输相互独立.发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为）.
（1）当，时，
（ⅰ） 采用单次传输方案，若依次发送，，，求依次收到，，的概率；
（ⅱ）采用三次传输方案，若发送，求译码为的概率；
若发送，采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为
的概率，求的取值范围.
22.（12分）
已知函数.
（1）若在区间单调递减，求实数的取值范围；
（2）若存在两个极值点，.
（ⅰ） 求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.高二数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D D C A A
二、选择题：每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD AC ACD
三、填空题：每小题5分，共20分。
题号 13 14 15 16
答案 或（任写一个即可）
四、解答题：
17.（10分）
解：（1）由题意知，，可得， ………………2分
即，解得，
所以不等式的解集为. ………………5分
，可得，
即有两个不相等的实数根，
令，则有两个不相等的正实数根， ………………7分
所以，可得， ………………9分
解得. ………………10分
18.（12分）
解：（1）， ……….………3分
所以有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关. ….............……4分
（2）（ⅰ）记为“抽到的人有自主创业打算”，为“抽到的人是男生”.
，，
所以(或). ………………7分
（ⅱ）记为“抽到的人无自主创业打算”，为“抽到的人是男生”，
法一：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. ……....………12分
法二：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
法三：，，
，所以，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
法四：，
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
19.（12分）
解：（1）由题意知，名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名，
记“抽到的名男生成绩都优秀”为事件，
则. ………………3分
（2）由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为；
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为. ………………5分
的取值范围为，，，， ………………6分
， ………………7分
， ………………8分
， ………………9分
， ………………10分
所以的概率分布为
. ………………12分
20.（12分）
解：（1）当时，， ………………1分
则，
解不等式，可得或，解不等式，可得，
因此在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增，…………3分
所以在区间的最大值为，中较大者.
因为，，
所以在区间的最大值为. ………………5分
（2）法一：，
①当时，，令，可得，不合题意； ………………6分
②当时，解不等式，可得，
解不等式，可得或，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减. ……………7分
又因为，所以在存在零点，不合题意； ………………8分
③当时，解不等式，可得或，
解不等式，可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增. …………9分
又因为，所以在存在零点，
若存在唯一的零点，且，则， …………10分
可得，即，解得或，所以. …………11分
综上，. ………………12分
法二：依题意知方程有唯一的负根，
即有唯一负根， ………………6分
所以与的图象有唯一交点且位于轴左侧，
令，则，， ………………7分
解不等式，可得，
解不等式，可得或， ………………9分
所以在单调递减，在，单调递增，在单调递减， ………10分
所以，
又，所以. ………………12分
21.（12分）
解：（1）（ⅰ）记“采用单次传输方案，依次发送，，，依次收到，，”为事件，
则. ………………3分
（ⅱ）记“采用三次传输方案，发送，译码为”为事件，
则. ………………7分
（2）记“发送，采用三次传输方案译码为”为事件，
记“发送，采用单次传输方案译码为”为事件，
则， ………………9分
， ………………10分
所以，
因为，
整理得，
解得. ……………12分
22.（12分）
解：（1）法一：， ……………1分
若函数在单调递减，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，， ……………2分
因为，所以在单调递增， ……………3分
所以， ……………4分
所以. ……………5分法二：， ……………1分
若函数在单调递减，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立， ……………2分
令，，则，
可得在单调递增，在单调递减，
①当时，在单调递增，
所以，可得，解得，
所以； ……………3分
②当时，在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以. ……………4分
综上，. ……………5分
（2）（ⅰ），令，若存在两个极值点，，
则，为的两个变号零点，，
①当时，，在单调递减，
所以不可能存在两个变号零点，不合题意； ……………6分
②当时，可得在单调递增，在单调递减，
若存在两个变号零点，则，解得，
又，令，
当时，，所以在单调递增，
所以，
又，
所以当时，存在两个极值点. ……………8分
（ⅱ）不妨设，则，，
要证，即证，
因为，，在单调递减，
即证，又因为，
即证， ……………9分
令，，
，
所以， ……………10分
所以在单调递增，
所以，因为，所以， ……………11分
即.
综上，. ……………12分高二数学参考答案
一、选择题：每小题 5分，共 40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D D C A A
二、选择题：每小题 5 分，共 20 分。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD AC ACD
三、填空题：每小题5分，共20分。
题号 13 14 15 16
答案 2 48 y 4 ex或 y
1
x（任写一个即可） 2023
e
四、解答题：
17.（10 分）
解：（1）由题意知， log x x2 (2 1) log2 6，可得 2 1 6， ………………2分
即 2x 5，解得 x log2 5，
所以不等式的解集为 x x log2 5 . ………………5分
（2） f (x) log2(m 2
x 2) ，可得 4x 1 m 2x 2，
即 4x m 2x 3 0有两个不相等的实数根，
令 2x t，则 t 2 m t 3 0有两个不相等的正实数根， ………………7分
0 m2 12 0
t t 所以 1 2 0，可得 m 0 ， ………………9分
t1 t2 0 3 0
解得m 2 3 . ………………10分
18.（12 分）
2 (16 64 24 36)(16 36 64 24)
2 168
解：（1）K 6.72 6.635， ……….………3分
(16 64)(24 36)(16 24)(64 36) 25
所以有 99%的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关. ….............……4分
（2）（ⅰ）记 A为“抽到的人有自主创业打算”， B为“抽到的人是男生”.
P(A) 16 15 31 1 P(AB) 16 16 ， ，
16 15 64 60 155 5 16 64 15 60 155
P(B | A) P(AB) 16 16 16所以 (或 ). ………………7分
P(A) 31 16 15 31
（ⅱ）记C为“抽到的人无自主创业打算”，D为“抽到的人是男生”，
64 16 64 16 16
法一： P(D |C) ，又 P(D) ，所以 P(D) P(D |C)，
124 31 16 15 64 60 31
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. ……....………12分
64 4 64 60 4
法二： P(C |D) ，又 P(C) ，所以 P(C) P(C |D)，
80 5 16 15 64 60 5
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
高二数学答案 第 1页（共 5页）
{#{QQABIQKEggiAAhAAABhCQQVSCkGQkBECCIgOhEAAMAAAiRFABAA=}#}
法三： P(CD) 64 64 ， P(C) 64 60 4 ，
16 15 64 60 155 16 15 64 60 5
P(D) 64 16 16 16 4 64 ，所以 P(C)P(D) ，所以 P(CD) P(C)P(D)，
16 15 64 60 31 31 5 155
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
2 (16 64 15 60)(16 60 64 15)
2
法四： K 0，
(16 64)(15 60)(16 15)(64 60)
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
19.（12 分）
解：（1）由题意知，10名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有 6名，
记“抽到的 2名男生成绩都优秀”为事件 A，
C 2
P(A) 6 15 1则 2 . ………………3分C10 45 3
（2 3）由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为 ；
5
1
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为 . ………………5分
2
X 的取值范围为{0，1，2，3}， ………………6分
P(X 0) 3 (1 ) 1 1 (1 ) 2 ， ………………7分
5 2 10
P(X 3 1) (1 1 2 1 1 7 ) 2 C 12 (1 ) ， ………………8分5 2 5 2 2 20
P(X 3 2) C1 12 (1
1
) 2 (1 )2 2 ， ………………9分
5 2 2 5 2 5
P(X 3) 3 (1 ) 2 3 ， ………………10分
5 2 20
所以 X 的概率分布为
X 0 1 2 3
1 7 2 3
P
10 20 5 20
E(X ) 1 0 1 7 2 2 3 3 8 . ………………12分
10 20 5 20 5
20.（12 分）
解：（1）当 a 1时， f (x) x3 6x2 2， ………………1分
则 f (x) 3x2 12x 3x(x 4) ，
解不等式 f (x) 0，可得 x 0或 x 4，解不等式 f (x) 0，可得 0 x 4，
因此 f (x)在区间 ( 1,0)单调递增，在区间 (0,4)单调递减，在区间 (4,5)单调递增，…………3分
所以 f (x)在区间 1,5 的最大值为 f (0)， f (5)中较大者.
因为 f (0) 2， f (5) 23，
所以 f (x)在区间 1,5 的最大值为 2 . ………………5分
高二数学答案 第 2页（共 5页）
{#{QQABIQKEggiAAhAAABhCQQVSCkGQkBECCIgOhEAAMAAAiRFABAA=}#}
（2）法一： f (x) 3ax2 12x 3x(ax 4)，
①当 a 0时， f (x) 6x2 2，令 f (x) 3 0，可得 x ，不合题意； ………………6分
3
②当 a 0时，解不等式 f (x) 0 4 ，可得 x 0，
a
4
解不等式 f (x) 0，可得 x 或 x 0，
a
所以 f (x)在 ( 4) 4 , 单调递减，在 ( ,0)单调递增，在 (0, ) 单调递减. ……………7分a a
又因为 f (0) 2 0，所以 f (x)在 (0, )存在零点，不合题意； ………………8分
③当 a 0时，解不等式 f (x) 0，可得 x 0 4或 x ，
a
解不等式 f (x) 4 0，可得 0 x ，a
所以 f (x)在 ( ,0) (0 4 ) (4单调递增，在 , 单调递减，在 , )单调递增. …………9分
a a
又因为 f (0) 2 0，所以 f (x)在 ( ,0)存在零点 x0 ，
若 f (x) 4存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 f ( ) 0， …………10分a
64 96
可得 2 2 2 0，即 a
2 16，解得 a 4或 a 4，所以 a 4 . …………11分
a a
综上，a 4 . ………………12分
法二：依题意知方程 ax3 6x2 2 0有唯一的负根，
a 6 2即 3 有唯一负根， ………………6分x x
所以 y a与 y 6 2
x x3
的图象有唯一交点且位于 y轴左侧，
t 1令 ，则 t 0， g(t) 2t3 6t ， g (t) 6t 2 6 6(t 1)(t 1) ………………7分
x
解不等式 g (t) 0，可得 1 t 1，
解不等式 g (t) 0，可得 t 1或 t 1， ………………9分
所以 g(t)在 ( , 1)单调递减，在 ( 1,0)， (0 ,1)单调递增，在 (1, )单调递减， ………10分
所以 a g(1)，
又 g(1) 4，所以 a 4 . ………………12分
21.（12 分）
解：（1）（ⅰ）记“采用单次传输方案，依次发送1， 0，1，依次收到1， 0，1”为事件 A，
则 P(A) 1 (1 )(1 1)(1 1 2 ) . ………………3分
3 2 3 9
（ⅱ）记“采用三次传输方案，发送1，译码为1”为事件 B，
高二数学答案 第 3页（共 5页）
{#{QQABIQKEggiAAhAAABhCQQVSCkGQkBECCIgOhEAAMAAAiRFABAA=}#}
P(B) (1 1)3 C 2(1 1)2 1 20则 3 . ………………7分3 3 3 27
（2）记“发送 0，采用三次传输方案译码为 0”为事件C，
记“发送 0，采用单次传输方案译码为 0”为事件 D，
则 P(C) (1 )3 C 2 23 (1 ) (1 )
2(1 2 ) ， ………………9分
P(D) 1 ， ………………10分
所以 (1 )2 (1 2 ) 1 ，
因为 0 1，
整理得 2 2 0，
1
解得 0 . ……………12分
2
22.（12 分）
1 a
x x a ln x 1 x ln x解：（1）法一： f (x) ， ……………1分
(x a)2 (x a)2
若函数 f (x)在 (0,a)单调递减，则 f (x)≤0对任意 x (0,a)恒成立，
a
即1 ln x≤0对任意
x x (0,a)
恒成立，
a
令 (x) 1 ln x，x (0,a)， ……………2分
x
因为 (x) a 1 a x 2 2 0 ，所以 (x)在 (0 , a)单调递增， ……………3分x x x
所以 (x) (a) lna≤0， ……………4分
所以 a≥1. ……………5分
1
x x
a
a ln x 1 ln x
法二： f (x) x2 2 ， ……………1分(x a) (x a)
若函数 f (x)在 (0,a)单调递减，则 f (x)≤0对任意 x (0,a)恒成立，
1 a即 ln x≤0x 对任意 x (0,a)恒成立，
所以 a≥x x ln x对任意 x (0,a)恒成立， ……………2分
令 g(x) x x ln x， x (0,a)，则 g (x) ln x，
可得 g(x)在 (0,1)单调递增，在 (1, )单调递减，
①当 0 a≤1时， g(x)在 (0,a)单调递增，
所以 a≥g(a)，可得 a≥a a lna，解得 a≥1，
所以 a 1； ……………3分
高二数学答案 第 4页（共 5页）
{#{QQABIQKEggiAAhAAABhCQQVSCkGQkBECCIgOhEAAMAAAiRFABAA=}#}
②当 a 1时， g(x)在 (0,1)单调递增，在 (1,a)单调递减，
所以 gmax (x) g(1) 1，所以 a≥1，所以 a 1. ……………4分
综上，a≥1. ……………5分
1 a ln x
（2）（ⅰ） f (x) x a2 ，令 h(x) 1 ln x，若 f (x)存在两个极值点 x ， x(x a) x 1 2
，
x a
则 x1， x2为 h(x)的两个变号零点， h (x) x2
，
①当 a≤0时， h (x)≤0， h(x)在 (0, )单调递减，
所以 h(x)不可能存在两个变号零点，不合题意； ……………6分
②当 a 0时，可得 h(x)在 (0,a)单调递增，在 (a, )单调递减，
若 h(x)存在两个变号零点，则 h(a) 0，解得 0 a 1，
a2 a a2h( ) 1 ln 1 2 ln a
2 2
又 2 ，令m(a)
2
1 ln a ，
2 a 2 a 2 a 2
2
当 0 a 1时，m (a) 2 a 2 2 2 2a 2 2 2 2 0 ，所以m(a)在 (0 ,1)单调递增，a a a a a
2
h(a
2
) m(a) m(1) 1 2 1所以 ln ln 2 1 0 ，
2 1 2
又 h(e) 1 a 1 a 0，
e e
所以当 0 a 1时， f (x)存在两个极值点. ……………8分
（ⅱ）不妨设 x1 x2，则 x1 (0,a)， x2 (a , )，
要证 x1 x2 2a，即证 x2 2a x1 ，
因为 2a x1 a， x2 a， h(x)在 (a, )单调递减，
即证 h(x2 ) h(2a x1)，又因为 h(x1) h(x2 )，
即证 h(x1) h(2a x1)， ……………9分
令 k(x) h(x) h(2a x)， x (0,a)，
k (x) h (x) h (2a x) ，
k (x) x a a x 2a (x a)( 1 1 ) 4a(x a)
2
所以 2 2 2 0 ， ……………10分x (2a x) x (x 2a)2 x2 (x 2a)2
所以 k(x)在 (0,a)单调递增，
所以 k(x) k(a) 0，因为 x1 (0,a)，所以 k(x1) 0， ……………11分
即 h(x1) h(2a x1) .
综上，x1 x2 2a . ……………12分
高二数学答案 第 5页（共 5页）
{#{QQABIQKEggiAAhAAABhCQQVSCkGQkBECCIgOhEAAMAAAiRFABAA=}#}高二数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A {x | y log2(x
2 x 2)}，则 (C A) R N
A.{ 1,0 ,1,2} B.{ 1,1,2} C.{ 0 ,1,2} D.{1,2}
2.若随机变量 X B(n,p)，且 E(X ) 6， D(X ) 5，则 p的值为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 5
6 3 2 6
3.某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高 X （单位： cm）服从正态分布，
2
f (x) 1
(x 110)
其概率分布密度函数为 e 200 ， x ( , )，若 P(X 130) p，则
10 2
P(90 X 110)
A. p B. 1 p C.1 2 p D. 2p
2
2
4. f (x) x x 3函数 在区间 (0 , ) 的最小值为
x
A. 2 2 B. 2 3 C. 2 2 1 D. 2 3 1
5.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业
第 x年的生产利润为 y（单位：亿元），现统计前 7年的数据为 (1,y1)， (2 ,y2 )， ，
7
(7 ,y7 )，根据该组数据可得 y关于 x的回归直线方程为 y 0.5x a，且 yi 30.1，
i 1
预测改进后该企业第8年的生产利润为
A.10.8亿元 B.10.3亿元 C. 6.8亿元 D. 6.3亿元
6. 从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 5 5 5
7.已知函数 f (x)及其导函数 f (x)的定义域均为 R ，则“ f (x)为奇函数”是“ f (x)为偶
函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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8.已知函数 f (x) 3|x| ，若 a f ( log5 2)， b f ( lg
1)， c f ( log2510)，则4
A. a b c B. a c b C.b c a D.b a c
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.下列求导运算正确的是
A. (cos x) sin x B. (tan x) 1 C. (2x 1) 2 (x 1)2
x D. (e2x ) 2e2x
cos x
10.在 (2x2 1 )6 的展开式中
x
A.常数项为 60 B.各项二项式系数的和为 32
C.各项系数的和为1 D.各项系数的绝对值之和为 729
11.已知实数m， n满足m n 1，则
A. m 1 m B. 2m 2n 3n 3m C. lnm 1 1 D.m lnn n lnm
n 1 n n
12.已知函数 f (x) exxk (k Z)，则
A.存在 k，使 f (x)不存在极小值
B.当 k 0时， f (x)在区间 ( ,0) 单调递减
C.当 k 0时， f (x)在区间 (0 , ) 单调递增
D.当 k 0时，关于 x的方程 f (x) mx实数根的个数不超过 4
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知函数 f (x) (x 1)2 ax是偶函数，则实数 a .
14.有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有
种（用数字作答）.
15.写出曲线 y (2x 1)e x 过坐标原点的一条切线方程 .
16.已知函数 f (x)，g(x)的定义域均为R ， f (x)为奇函数，g(x 1)为偶函数， f ( 1) 2，
2023
g(x 2) f (x) 1，则 g(i) .
i 1
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数 f (x) log2(4
x 1) .
1 x（ ）求不等式 f ( ) log23 1的解集；2
（2）若关于 x的方程 f (x) log x2(m 2 2) 有两个不相等的实数根，求实数m的取值
范围.
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18.（12分）
某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据.
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 m
无自主创业打算 64 n
（1）若m 24， n 36，根据调查数据判断，是否有 99%的把握认为该校学生有无
自主创业打算与性别有关；
（2）若m 15， n 60，从这些学生中随机抽取一人.
（ⅰ）若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
（ⅱ）判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立.
2 n(ad bc)
2
附： K ,n a b c d .
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 ≥ k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（12分）
根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）.
一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生
优秀 147及以上 152及以上
良好 135 146 136 151
及格 65 134 66 135
不及格 64及以下 65及以下
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取10名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩
整理如下：
男生/次 150 132 160 122 152 111 154 98 158 157
女生/次 151 162 143 100 168 166 158 170 122 100
（1）从这10名男生中任取 2名，求取到的 2名男生成绩都优秀的概率；
（2）若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校
全体六年级学生中随机抽取1名男生和 2名女生，设 X 为这 3名学生中一分钟跳绳成绩优
秀的人数，求 X 的概率分布与期望.
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20.（12分）
已知函数 f (x) ax3 6x2 2 .
（1）当 a 1时，求 f (x)在区间 1,5 的最大值；
（2）若 f (x)存在唯一的零点 x0 ，且 x0 0，求实数 a的取值范围.
21.（12分）
在信道内传输 0，1信号，信号的传输相互独立.发送 0时，收到1的概率为 (0 1)，
收到 0的概率为1 ；发送1时，收到 0的概率为 (0 1)，收到1的概率为1 .考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指
每个信号重复发送 3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即
为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，
则译码为1）.
1 1
（1）当 ， 时，
2 3
（ⅰ）采用单次传输方案，若依次发送1， 0，1，求依次收到1， 0，1的概率；
（ⅱ）采用三次传输方案，若发送1，求译码为1的概率；
（2）若发送 0，采用三次传输方案译码为 0的概率大于采用单次传输方案译码为 0
的概率，求 的取值范围.
22.（12分）
f (x) ln x已知函数 .
x a
（1）若 f (x)在区间 (0,a)单调递减，求实数 a的取值范围；
（2）若 f (x)存在两个极值点 x1， x2 .
（ⅰ）求实数 a的取值范围；
（ⅱ）证明： x1 x2 2a .
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