2023年四川省德阳市数学中考试卷（含解析）

2023年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列说法中正确的是( )
A. 对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B. 中考期间一定会下雨是必然事件
C. 一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D. 已知“，，，，”这一组数据的方差为，将这一组数据分别乘以，则所得到的一组新数据的方差也为
4. 如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交于点，，则( )
A. B. C. D.
5. 在，，，四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集是( )
A. B. C. D. 无解
7. 如图，在中，，，，，点是边的中点，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，则( )
A. B. C. D.
9. 已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是( )
A. B. C. D.
10. 如图， 的面积为，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
11. 在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式，按如下规律进行操作：
第次操作后得到整式中，，；
第次操作后得到整式中，，，；
第次操作后
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第次操作后得到的整式串各项之和是( )
A. B. C. D.
12. 如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接下列结论中正确的个数是( )
；
是的切线；
，两点间的距离是；
．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 分解因式：______．
14. 年月日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗其中千米用科学记数法表示为______ 米
15. 在一次数学测试中，张老师发现第一小组位学生的成绩单位：分分别为：，，，，，，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为分，则该小组成绩的中位数是______ ．
16. 如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于______ ．
17. 已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是______ ．
18. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和分别相等，且均为王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
三星堆遣址已有年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遣址年三星堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注，为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了名学生进行调查，并将其问题分为了五类，非常了解；比较了解；了解；不太了解；不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
求图中，的值，以及类所对应的圆心角的度数；
据统计，全市共有名九年级学生，请你估计“了解”的学生人数；
德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“，，，，”五类，分别赋上对应的分数“分，分，分，分，分”，求得平均分，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
21. 本小题分
如图，点在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是．
求反比例函数的解析式；
当点的横坐标为时，过点的直线与反比例函数的图象相交于点，求交点的坐标．
22. 本小题分
将一副直角三角板与叠放在一起，如图，，，，在两三角板所在平面内，将三角板绕点顺时针方向旋转度到位置，使，如图．
求的值；
如图，继续将三角板绕点顺时针方向旋转，使点落在边上点处，点落在点处，设交于点，交于点，若点是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
23. 本小题分
年月日至日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清沽能源装备大会在德阳举行大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集，其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划年基本建成，若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要个月完成任务，若由乙先单独施工个月，再由甲、乙合作施工个月恰好完成任务承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用万元，向乙工程队支付施工费用万元．
乙队单独施工需要几个月才能完成任务？
为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了个月，乙队完成另一部分工程用了个月，已知甲队施工时间不超过个月，乙队施工时间不超过个月，且，为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
24. 本小题分
如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．
求证：是的平分线；
求的度数；
求的值．
25. 本小题分
已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，如果把抛物线轴下方的部分沿轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求的值；
如图，如果把直线沿轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是无理数，故本选项符合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、若，则，故A不符合题意；
B、若，则，故B不符合题意；
C、若，则，故C不符合题意；
D、若，则，正确，故D符合题意．
故选：．
不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
3.【答案】
【解析】解：、对绵远河段水质污染情况的调查，采用抽样调查的方式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、中考期间一定会下雨是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
C、一个样本中包含的个体数目称为样本容量，故本选项说法正确，符合题意；
D、已知“，，，，”这一组数据的方差为，将这一组数据分别乘以，则所得到的一组新数据的方差为，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
分别根据全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式，理解全面调查与抽样调查，随机事件，样本容量，方差的计算公式是正确判断的前提．
4.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
平分，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出，再结合角平分线可得即可求出．
本题考查平行线的性质和角平分线的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有种情况，
这两个数字之和为奇数概率为．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，
由得，；由得，．
原不等式组的解集为：．
故选：．
依据题意，由一元一次不等式组的解法分别解两个不等式，然后即可判断得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
，，
，
，点是边的中点，
．
故选：．
先在直角中利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后利用三角形的中位线定理求出．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则得．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：
正多边形的边心距与边长之比为，
设正多边形的边长为，则其边心距为，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
此正多边形是正六边形．
故选：．
根据题意画出图形，设正多边形的边长为，则其边心距为，故可得出其底角的度数，由此可判断出的形状，故可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，，
，
，，
四边形为菱形，
点是的中点，点是四边形边上的动点，
当垂直于菱形的一边时，有最小值．
过点作于，过点作与，则，
矩形的面积为，，
，
即，
解得，
为的中点，
为的中位线，
，
故的最小值为．
故选：．
先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作与，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准有最小值时的点位置是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：第次操作后得到的整式串，，；
第次操作后得到的整式串，，，；
第次操作后得到的整式串，，，，；
第次操作后得到的整式串，，，，，；
第次操作后得到的整式串，，，，，，；
第次操作后得到的整式串，，，，，，，；
第次操作后得到的整式串，，，，，，，，；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．
，
第次操作后得到的整式中各项之和与第次操作后得到整式串之和相等．
这个和为．
故选：．
依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可以得解．
本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接，，如图，
的直径，是弦，，
，
，
，
，
，
．
为圆内接四边形的外角，
．
的结论正确；
连接，
，
垂直平分，
．
在和中，
，
≌，
．
由题意与相交，
为钝角，
为钝角，
与不垂直，
不是的切线．
的结论不正确；
为的直径，
，
．
设交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
的结论正确；
为的直径，
，
，，
．
．
，
．
．
为的直径，
，
，
，
∽，
，
，
解得：．
．
的结论不正确．
结论正确的有：．
故选：．
连接，，，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的切线的判定，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
13.【答案】
【解析】解：
．
观察原式，找到公因式，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
14.【答案】
【解析】解：千米米米，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
排序为：，，，，，，
所以中位数为，
故答案为：．
首先利用平均数求得被墨水污染的数，然后利用中位数的定义确定答案即可．
本题考查了统计的知识，解题的关键是根据题意确定被污染的数，难度中等．
16.【答案】
【解析】解：如图，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接，
是的中点，和是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
如图，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，过点作于点，交于点，
则四边形是矩形，，
在中，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
如图，连接，交于点，则，，
在中，，
，
，
，
小虫爬行的最短路程为．
故答案为：．
利用平面展开图可总结为种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间距离最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论．
17.【答案】
【解析】解：当内含于时，值最大，此时；
当与外离时，值最小，此时，
故答案为：．
根据条件，分情况进行讨论，当内含于时，值最大，当与外离时，值最小，得出的取值范围即可．
本题考查了圆与圆的位置关系，当时，两圆内含；当时，两圆外离．
18.【答案】
【解析】解：设九宫格中最中间的数为，
第列中间数与第行的最左侧的数重合，
，
，
根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和等于最中间数的三倍，
，
故答案为：．
设九宫格中最中间的数为，由于第列中间数与第行的最左侧的数重合，建立方程，求得，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和等于最中间数的三倍所以．
本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
19.【答案】解：原式．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算法则，化简求值即可．
本题考查了实数的运算，主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数的运算，解题的关键是掌握运算法则．
20.【答案】解：由题意得，，
故，
类所对应的圆心角的度数为：；
名，
答：估计“了解”的学生人数大约为名；
分，
答：本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【解析】用样本容量乘类所占比例可得的值，再用样本容量减去其他四类的人数可得的值，然后用乘类所占比例即可；
利用样本估计总体可得答案；
估计加权平均数的计算公式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：如图：与轴交于点，
是点关于轴的对称点，的面积是，
，
，
，
，
反比例函数的解析式：；
点的横坐标为，
时，，
，
，
直线过点，
，
，
直线，
联立，
或，
或
【解析】根据点是点关于轴的对称点，的面积是，得出，的面积是，根据反比例函数的几何意义得出，即可得答案；
由点的横坐标为，得出坐标，继而得出的坐标，求出直线，联立两个函数解析式即可得答案．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了反比例函数的几何意义，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
将三角板绕点顺时针方向旋转度到三角形位置，
；
四边形是正方形，理由如下：
，，点是的中点，
，，
，
，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
【解析】由旋转的性质可得；
由等腰直角三角形的性质可得，，由正方形的判定可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：设乙队单独施工需要个月才能完成任务，根据题意得，
，解得，
经检验是原方程的根，
答：乙队单独施工需要个月才能完成任务；
根据题意得，，
整理得，，
，为正整数，且，，
为的倍数，
时，；时，；时，，
方案一：甲队施工个月，乙队施工个月；
方案二：甲队施工个月，乙队施工个月；
方案三：甲队施工个月，乙队施工个月；
设甲乙两队实际施工的费用为万元，得，
，
，
随的增大而减小，
即当时，所支付费用最低，
方案一：甲队施工个月，乙队施工个月，所支付费用最低．
【解析】设完成本项工程的工作总量为“”，乙队单独施工需要个月才能完成任务，由已知条件：乙先单独施工个月，再由甲、乙合作施工个月恰好完成任务．列出分式方程，求解即可．
由已知条件：甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了个月，乙队完成另一部分工程用了个月，可列出关于、的二元一次方程，从而得到，又根据，为正整数，得出甲乙两队实际施工的时间安排的三种方式；设甲乙两队实际施工的费用为万元，得，又因为，进而得到关于和的一次函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查了列方程解决工程问题，根据、的取值范围及、均为整数的关系，得出为的倍数是本题的难点．
24.【答案】证明：，
．
，
，
，
是的平分线．
解：如图所示，连接．
设．
根据证明可知，，
，
，
．
．
，
，
．
，
．
，
．
．
解：设的半径为，，则．
，
．
又，
．
，
∽．
，
即，
解得，
．
【解析】根据平行线的性质，可得到，根据等腰三角形的性质可得到，进而可证明结论．
连接，设，利用三角形的外角，圆的内接四边形的对角互补，等腰三角形的性质将的各角分别用含的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得的值，进而可求得答案．
设的半径为，，可证得，根据∽，可得用含有和的代数式表示出该等式，求解即可得到和的关系，进而可求得答案．
本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形的外角的性质、圆周角的性质、根据几何图形列一元二次方程，能采用数形结合的方法分析问题是解题的关键
25.【答案】解：设抛物线解析式为，
将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
抛物线沿轴翻折后的函数解析式为，
当时，
当直线经过点时，，解得，此时函数与直线有两个交点；
当有一个解时，，
解得或舍，
时，直线与新图象有三个公共点；
当时，
当有一个解时，，
解得舍或，
当直线经过点时，，解得，此时函数与直线有一个交点；
当时，直线与新图象始终有一个公共点；
综上所述：时，直线与新图象有三个公共点；
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，是方程的一个根，
，
解得舍或，
．
【解析】设抛物线的两点式方程，再将点代入即可求函数的解析式；
分和两种情况讨论，再结合图象求解即可；
设，则，由平行的性质可得，从而得到，结合已知推导出，从而确定点，当时，是方程的一个根，通过解方程求出的值即可求点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象翻折的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
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