13.3角平分线[上学期]

课件13张PPT。角平分线(2）几何的三种语言定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).逆定理逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
用尺规作角的平分线.
邻补角的角平分线之间的关系.
如我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三条角平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，你能证明点P在∠BAC的平分线上吗？探索证明过程过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
同理，PE=PF，
∴PD=PF
∴点P在△BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。∴△ABC三条角平分线相交于点P。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到三条边的距离相等。例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）
∴PD=PE
（在角平分线上的点到
角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
DEF随堂练习1 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD随堂练习2 已知：
如图， ∠C=90°，∠B=30°， AD是Rt△ABC的角平分线。
求证：BD=2CD随堂练习3 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。随堂练习4 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，求证：
（1）OC=OD；
（2）OP是CD的垂直平分线。A耐心地想一想 如图，EG，FG分别∠MEF的∠NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果∠G=68°，求∠P的度数。结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.