山东省泰安市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·烟台）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·泰安）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A．年 B．年
C．年 D．年
4．（2023·泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是
C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是
7．（2023·泰安）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·泰安）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023·泰安）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
二、填空题
13．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（2023·泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）
15．（2023·泰安）二次函数的最大值是 ．
16．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
17．（2023·泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
18．（2023·泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．
三、解答题
19．（2023·泰安）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
20．（2023·泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
21．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
22．（2023·泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
23．（2023·泰安）如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
24．（2023·泰安）如图，、是两个等腰直角三角形，．
（1）当时，求；
（2）求证：；
（3）求证：．
25．（2023·泰安）如图1，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是，
故答案为：D.
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：解：A、2a，3b不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，所以B不正确；
C、所以C不正确；
D、3a3（-4a2）=-12a5，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】根据整式的有关运算性质，分别正确计算，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：20.3亿=2030000000=2.03×109（年）。
故答案为：B。
【分析】先把20.3亿转化成2030000000，然后再改写成科学记数法的形式即可。
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、B是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C、C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D、D既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意。
故答案为：D。
【分析】分别判断各选项的对称性，然后选出符合题意的图形即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
∵∠EDF是△ADF的一个外角，∠1=35°，
∴∠EDF=∠1+∠A=30°+35°=65°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=∠EDF=65°，
∴∠2=180°-∠60°-65°=55°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形外角的性质求得∠EDF，再根据平行线的性质求的∠BEG，再根据三角形的内角和求得∠2即可。
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14.
A、这组数据的众数是11，所以A正确；
B、这组数据的中位数是（10+11）÷2=10.5，所以B错误；
C、这组数据的平均数是（6+7+9+10×2+11×4+14）÷10=10，所以C正确；
D、这组数据的方差是，所以D正确.
故答案为：B。
【分析】分别求出这组数据的众数，中位数，平均数，方差，然后找出答案错误的选项即可。
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC=115°，∴∠B=65°，∵AB是 的直径，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠CAB=90°-65°=25°。
故答案为：A。
【分析】先根据圆内接四边形的性质，求出∠B，再根据直径所对的圆周角是90°，求得∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余得出∠CAB即可。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=40°，又∵∠ACB=70°，∴∠BCO=30°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO=30°，∴∠BOC=120°，∴
故答案为：C。
【分析】首先根据圆的性质求出∠BOC的度数，然后运用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可。
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程知：BD平分∠ABC，MN垂直平分BD，
∴∠CBD=∠ABD，EB=ED，
∴∠ABD=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC，所以①正确；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°
∴CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD，
又∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD=AD，
∴BC=AD，
又因为ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC=72°，
∠ADE=∠C=72°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴BC=AE，∴②正确；
在△ABC和△BCD中，
∵∠A=∠DBC，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC∶BC=BC∶CD，
∴AC∶AD=AD∶（AC-AD），
∴2∶AD=AD∶（2-AD），
∴AD=∴④正确；
对于③，假设结论成立，则ED应该是三角形ABC的中位线，所以点D是AC的中点，
∵AC=2，∴AD=1，与相矛盾，∴③不正确。
∴正确结论的个数是：3.
故答案为：C。
【分析】根据角平分线和中垂线的性质，可得出∠AED=∠ABC；根据△BCD和△ABD以及△AFD都是等腰三角形，可得出BC=AE；根据△ABC∽△BCD，可求得AD=；根据④的结论，可知点D不是AC的中点，可以说明③不正确，根据以上结论，可得出答案。
12．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取OB的中点N，连接AN，MN，根据点A（-6，4）知，OB=6，AB=4，∴BN=3，在Rt△ABN中，又∵点M是BC的中点，∴MN是△BOC的中位线，∴，在Rt△COD中， ，∴OC=4，∴MN=2，在△AMN中，AM＞AN-MN，只有当点N在AM上时，AM=AN-MN，∴AM≥AN-MN，∴AM的最小值是AN-MN=5-2=3.
故答案为：A。
【分析】取OB的中点N，连接AN，MN，在Rt△ABN中，根据勾股定理求得AN，根据三角形中位线定理，可求得MN，根据两点之间，线段最短，得出AM的最小值即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，OC（三角板的斜边与圆的切点标记为点C），∵∠DAC=60°，∴∠CAB=120°，又∵AC，AB是圆的切线，∴∠OCA=∠OBA=90°，AO平分∠BAC，∴∠CA0=∠BAO=60°，∴∠AOB=∠AOC=30°，又AB=4，∴OA=2AB=8，∴即圆的半径为≈4×1.73≈6.9（cm）。
故第1空答案为：6.9
【分析】根据切线的性质，可得△OAB是含有30°锐角的直角三角形，由AB=4，可根据含30°锐角的直角三角形的性质，以及勾股定理，求出半径的长即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2-3x+4=-（x2+3x）+4=，
∵-1＜0，∴函数有最大值为：.
故第1空答案为：.
【分析】用配方法把二次函数的一般形式，转化为：，可得函数的最大值为：。
16．【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
【分析】先证明△AFD∽△B'FG，根据对应边成比例，求得GF的长，然后根据CG=AC-AF-GF，即可求得CG。
18．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：因为△A1OA2是等边三角形，所以OB=1，，∴A1、A2、A3、A4，......的横坐标依次为：1，2，3，4，......A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9，......的纵坐标依次为：所以，A2023的横坐标为2023，又∵2023÷3=674......1，所以A2023的纵坐标为，所以A2023的坐标为：。
故第1空答案为：。
【分析】根据已有的点的坐标，找出排列规律，然后根据规律，写出A2023的坐标即可。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则，正确化简即可；
（2）分别解不等式①，②，求得它们的解集，再求出它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集。
20．【答案】（1）200；108
（2）解：B级的人数为名，
补全统计图如下：
（3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
E F G
E （E，E） （F，E） （G，E）
F （E，F） （F，F） （G，F）
G （E，G） （F，G） （G，G）
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）本次竞赛共有：（名），B级人数为：200×25%=50（人），所以C级人数为：200-80-50-10=60（人），所以扇形统计图中扇形C的圆心角度数是：；
故第1空答案为：200；第2空答案为：108°；
【分析】（1）由扇形统计图A的圆心角可求得A的频率，由条形统计图知A的频数，用频数除以相应频率即可得出总数；先求C级频率，再乘360°，即可求得扇形C的圆心角度数；
（2）根据（1）中所求各级频数，直接画图补充完整即可；
（3）利用列表法可得出一共有9种等可能的结果。其中所关注结果为3种，利用概率公式，可求得参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率。
21．【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
22．【答案】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得：，
则学校九年级学生人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设零售价为x元，批发价为y， 根据"按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同"可得方程：50x=60y①，根据用3600元按照批发价比按照零售价可多购买60个，得方程：②，①，②联合组成方程组，解方程组求得x，y的值，然后根据小明给学校九年级学生每人购买一个，按零售价付款，需用3600元，可得学校九年级学生为，把x代入求值即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先证明 ，得出对应角，从而得到，再结合，可证得四边形DBEF是平行四边形；
（2）根据（1）的结论，四边形DBEF是平行四边形，可得DF=BE，又知DF=GF，所以BE=GF，然后可证 ，从而得出对应边FH=EM。
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
（2）证明：在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）证明：过H点作于点K，如图，
∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先通过证明，可以得出EA=ED，然后根据三角形内角和丁丽求得∠EGC=90°，从而得出AC垂直平分ED，根据垂直平分线的性质，得出AE=AD，所以△AED是等边三角形，从而得出∠AED的度数；
（2）由（1）知∠EGC=90°，可得∠EGH=∠AFH=90°，易知∠GEH=∠GAD，根据两角对应相等的两个三角形相似，直接判定即可；
（3）过H点作于点K，如图， 可证∠EHK=45°-∠GEH，∠BAE=45°-∠EAG=45°-∠GAD，由（2）知：∠GEH=∠GAD，∴∠EHK=∠BAE，又知道∠EKH=∠B=90°，所以，∴， 又知，从而得出结论 ．
25．【答案】（1）解：将代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将，代入解得：，
∴直线解析式为：，
此时，如图所示，作轴，交于点，
∵点P在二次函数对称轴上，
∴设，则，
∴，
∴，
∵要使得面积为5，
∴，解得：或，
∴的坐标为或；
（3）解：正确，，理由如下：
如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，
由（1）、（2）可得，，
∴，，
根据抛物线的对称性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将、代入解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得：或（不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法，直接代入 二次函数y=ax2+bx+4 中，得到a、b的值即可；
（2）可利用待定系数法确定直线BC的表达式为：y=4x+4，由（1）知 y=x2+5x+4，可得对称轴为，所以可设，过点P作PQ∥X轴，交直线BC于点Q，可得，然后根据三角形的面积计算公式，得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可得出点P的坐标；
（3）首先证明△ABK是等腰直角三角形，从而得出∠BKC=90°，所以∠CBK+∠ACB=90°，要使∠DAB+∠ACB=90°，需要满足∠DAB=∠CBK，在Rt△BKC中，可得出，∴，可求得M的坐标为，由待定系数法根据A、M的坐标可确定直线AM的解析式为：， 然后联立方程组，解得方程租的解，舍去不符合条件的解，即可求得点D的坐标。
1 / 1山东省泰安市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·烟台）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是，
故答案为：D.
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.
2．（2023·泰安）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：解：A、2a，3b不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B、（a-b）2=a2-2ab+b2，所以B不正确；
C、所以C不正确；
D、3a3（-4a2）=-12a5，所以D正确。
故答案为：D。
【分析】根据整式的有关运算性质，分别正确计算，即可得出答案。
3．（2023·泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A．年 B．年
C．年 D．年
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：20.3亿=2030000000=2.03×109（年）。
故答案为：B。
【分析】先把20.3亿转化成2030000000，然后再改写成科学记数法的形式即可。
4．（2023·泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如下四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、B是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C、C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D、D既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以D符合题意。
故答案为：D。
【分析】分别判断各选项的对称性，然后选出符合题意的图形即可。
5．（2023·泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
∵∠EDF是△ADF的一个外角，∠1=35°，
∴∠EDF=∠1+∠A=30°+35°=65°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=∠EDF=65°，
∴∠2=180°-∠60°-65°=55°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形外角的性质求得∠EDF，再根据平行线的性质求的∠BEG，再根据三角形的内角和求得∠2即可。
6．（2023·泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（ ）
A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是
C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14.
A、这组数据的众数是11，所以A正确；
B、这组数据的中位数是（10+11）÷2=10.5，所以B错误；
C、这组数据的平均数是（6+7+9+10×2+11×4+14）÷10=10，所以C正确；
D、这组数据的方差是，所以D正确.
故答案为：B。
【分析】分别求出这组数据的众数，中位数，平均数，方差，然后找出答案错误的选项即可。
7．（2023·泰安）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC=115°，∴∠B=65°，∵AB是 的直径，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠CAB=90°-65°=25°。
故答案为：A。
【分析】先根据圆内接四边形的性质，求出∠B，再根据直径所对的圆周角是90°，求得∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余得出∠CAB即可。
8．（2023·泰安）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、根据直线的位置可以判断a＞0，b＞0，∴ab＞0，∴双曲线的两个分支应该在第一、三象限，所以A不符合题意；
B、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以B不符合题意；
C、根据直线的位置可以判断a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以C不符合题意；
D、根据直线的位置可以判断a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴双曲线的两个分支应该在第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
【分析】对于每个选项，首先根据直线的位置，判断a、b的正负，从而得出ab的正负，然后判断出双曲线的位置，选择与与图象一致的选项即可。
9．（2023·泰安）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=40°，又∵∠ACB=70°，∴∠BCO=30°，∵OB=OC，∴∠CBO=∠BCO=30°，∴∠BOC=120°，∴
故答案为：C。
【分析】首先根据圆的性质求出∠BOC的度数，然后运用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可。
10．（2023·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得 ：。
故答案为：C。
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等 ，可列方程为：9x=11y①，根据 两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可列方程为：（10y+x）-（8x+y）=13②，把①②联合成方程组。
11．（2023·泰安）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程知：BD平分∠ABC，MN垂直平分BD，
∴∠CBD=∠ABD，EB=ED，
∴∠ABD=∠EDB，
∴∠CBD=∠EDB，
∴ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC，所以①正确；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°
∴CBD=∠ABD=36°，
∴∠BDC=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BC=BD，
又∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD=AD，
∴BC=AD，
又因为ED∥BC，
∴∠AED=∠ABC=72°，
∠ADE=∠C=72°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴BC=AE，∴②正确；
在△ABC和△BCD中，
∵∠A=∠DBC，∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC∶BC=BC∶CD，
∴AC∶AD=AD∶（AC-AD），
∴2∶AD=AD∶（2-AD），
∴AD=∴④正确；
对于③，假设结论成立，则ED应该是三角形ABC的中位线，所以点D是AC的中点，
∵AC=2，∴AD=1，与相矛盾，∴③不正确。
∴正确结论的个数是：3.
故答案为：C。
【分析】根据角平分线和中垂线的性质，可得出∠AED=∠ABC；根据△BCD和△ABD以及△AFD都是等腰三角形，可得出BC=AE；根据△ABC∽△BCD，可求得AD=；根据④的结论，可知点D不是AC的中点，可以说明③不正确，根据以上结论，可得出答案。
12．（2023·泰安）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取OB的中点N，连接AN，MN，根据点A（-6，4）知，OB=6，AB=4，∴BN=3，在Rt△ABN中，又∵点M是BC的中点，∴MN是△BOC的中位线，∴，在Rt△COD中， ，∴OC=4，∴MN=2，在△AMN中，AM＞AN-MN，只有当点N在AM上时，AM=AN-MN，∴AM≥AN-MN，∴AM的最小值是AN-MN=5-2=3.
故答案为：A。
【分析】取OB的中点N，连接AN，MN，在Rt△ABN中，根据勾股定理求得AN，根据三角形中位线定理，可求得MN，根据两点之间，线段最短，得出AM的最小值即可。
二、填空题
13．（2023·泰安）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，所以a＞-4.
【分析】根据根的判别式大于零，列出关于a的不等式，解不等式，求出a的取值范围。
14．（2023·泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，OC（三角板的斜边与圆的切点标记为点C），∵∠DAC=60°，∴∠CAB=120°，又∵AC，AB是圆的切线，∴∠OCA=∠OBA=90°，AO平分∠BAC，∴∠CA0=∠BAO=60°，∴∠AOB=∠AOC=30°，又AB=4，∴OA=2AB=8，∴即圆的半径为≈4×1.73≈6.9（cm）。
故第1空答案为：6.9
【分析】根据切线的性质，可得△OAB是含有30°锐角的直角三角形，由AB=4，可根据含30°锐角的直角三角形的性质，以及勾股定理，求出半径的长即可。
15．（2023·泰安）二次函数的最大值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=-x2-3x+4=-（x2+3x）+4=，
∵-1＜0，∴函数有最大值为：.
故第1空答案为：.
【分析】用配方法把二次函数的一般形式，转化为：，可得函数的最大值为：。
16．（2023·泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为，后退（）到D处有一平台，在高（）的平台上的E处，测得B的仰角为．则该电视发射塔的高度为 ．（精确到．参考数据：）
【答案】55
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=50°，AC=xm，由得：
在Rt△BEF中，EF=AD=AC+CD=（x+60）m，∠BEF=26.6°，
由得：
又由题意知AF=DE=2m，AB=AF+BF，
∴1.2x=2+0.5（x+60），解方程，得：，所以AB=1.2x≈55.
故第1空答案为：55.
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为点F，设AC=xm，分别解Rt△ABC和Rt△BEF，得出AB和BF（用含有x的表达式），又AF=DE=2，根据AB=AF+BF，列出方程，解方程，即可解决问题。
17．（2023·泰安）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
【分析】先证明△AFD∽△B'FG，根据对应边成比例，求得GF的长，然后根据CG=AC-AF-GF，即可求得CG。
18．（2023·泰安）已知，都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：因为△A1OA2是等边三角形，所以OB=1，，∴A1、A2、A3、A4，......的横坐标依次为：1，2，3，4，......A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9，......的纵坐标依次为：所以，A2023的横坐标为2023，又∵2023÷3=674......1，所以A2023的纵坐标为，所以A2023的坐标为：。
故第1空答案为：。
【分析】根据已有的点的坐标，找出排列规律，然后根据规律，写出A2023的坐标即可。
三、解答题
19．（2023·泰安）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则，正确化简即可；
（2）分别解不等式①，②，求得它们的解集，再求出它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集。
20．（2023·泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）200；108
（2）解：B级的人数为名，
补全统计图如下：
（3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下：
E F G
E （E，E） （F，E） （G，E）
F （E，F） （F，F） （G，F）
G （E，G） （F，G） （G，G）
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种，
∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）本次竞赛共有：（名），B级人数为：200×25%=50（人），所以C级人数为：200-80-50-10=60（人），所以扇形统计图中扇形C的圆心角度数是：；
故第1空答案为：200；第2空答案为：108°；
【分析】（1）由扇形统计图A的圆心角可求得A的频率，由条形统计图知A的频数，用频数除以相应频率即可得出总数；先求C级频率，再乘360°，即可求得扇形C的圆心角度数；
（2）根据（1）中所求各级频数，直接画图补充完整即可；
（3）利用列表法可得出一共有9种等可能的结果。其中所关注结果为3种，利用概率公式，可求得参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率。
21．（2023·泰安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，作轴，垂足为点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当时，直接写出的取值范围；
（3）点在轴负半轴上，连接，且，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，轴，
∴，点的纵坐标为，
∵点在图象上，
∴当时，，解得：，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）
（3）解：如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：时，，解得：，
∴点，
∴，，
∴，
∴，
∴点．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）由（1）知：y1=-2x+2与在第二象限相较于点A（-1，4），∴在第二象限内，当y1＜y2时，-1＜x＜0.
【分析】（1）先根据点A在直线y1=-2x+2上，求得点A的坐标，再根据点A在上，求得k的值，从而得出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数在第二象限内的交点坐标，结合函数图象，直接写出x的取值范围即可；
（3）因为点P在X轴上，所以纵坐标为0，要求点P的横坐标，只需求出PO的长度即可。如图，过A作AM⊥x轴于点M， 根据点D是直线y1=-2x+2与x轴的交点，可求得点D的坐标，从而得出OD的长度为1，又OM=OE=1，所以BM=2，根据两点间的距离公式可求得AD的长，然后根据， 可以得出PD的长度。PD-DO是PO的长度，根据点P所在的位置，确定横坐标的正负即可。
22．（2023·泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】解：设零售价为x元，批发价为y，
根据题意可得：
，解得：，
则学校九年级学生人．
答：这个学校九年级学生有300人．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设零售价为x元，批发价为y， 根据"按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同"可得方程：50x=60y①，根据用3600元按照批发价比按照零售价可多购买60个，得方程：②，①，②联合组成方程组，解方程组求得x，y的值，然后根据小明给学校九年级学生每人购买一个，按零售价付款，需用3600元，可得学校九年级学生为，把x代入求值即可。
23．（2023·泰安）如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得 ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先证明 ，得出对应角，从而得到，再结合，可证得四边形DBEF是平行四边形；
（2）根据（1）的结论，四边形DBEF是平行四边形，可得DF=BE，又知DF=GF，所以BE=GF，然后可证 ，从而得出对应边FH=EM。
24．（2023·泰安）如图，、是两个等腰直角三角形，．
（1）当时，求；
（2）求证：；
（3）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、是两个等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴等腰直角中，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴；
（2）证明：在（1）中有，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）证明：过H点作于点K，如图，
∵，，
∴，
∴，即是等腰，
∴，
∵，，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
在（1）中已证明，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先通过证明，可以得出EA=ED，然后根据三角形内角和丁丽求得∠EGC=90°，从而得出AC垂直平分ED，根据垂直平分线的性质，得出AE=AD，所以△AED是等边三角形，从而得出∠AED的度数；
（2）由（1）知∠EGC=90°，可得∠EGH=∠AFH=90°，易知∠GEH=∠GAD，根据两角对应相等的两个三角形相似，直接判定即可；
（3）过H点作于点K，如图， 可证∠EHK=45°-∠GEH，∠BAE=45°-∠EAG=45°-∠GAD，由（2）知：∠GEH=∠GAD，∴∠EHK=∠BAE，又知道∠EKH=∠B=90°，所以，∴， 又知，从而得出结论 ．
25．（2023·泰安）如图1，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标；
（3）小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由抛物线可知，其对称轴为直线，，
设直线解析式为：，
将，代入解得：，
∴直线解析式为：，
此时，如图所示，作轴，交于点，
∵点P在二次函数对称轴上，
∴设，则，
∴，
∴，
∵要使得面积为5，
∴，解得：或，
∴的坐标为或；
（3）解：正确，，理由如下：
如图所示，连接，，设与对称轴交点为，对称轴与轴交点为，连接，延长与对称轴交于点，
由（1）、（2）可得，，
∴，，
根据抛物线的对称性，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵且，
∴，
∴，
即：在中，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
将、代入解得：，
∴直线解析式为：，
联立，解得：或（不合题，舍去）
∴小明说法正确，D的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法，直接代入 二次函数y=ax2+bx+4 中，得到a、b的值即可；
（2）可利用待定系数法确定直线BC的表达式为：y=4x+4，由（1）知 y=x2+5x+4，可得对称轴为，所以可设，过点P作PQ∥X轴，交直线BC于点Q，可得，然后根据三角形的面积计算公式，得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可得出点P的坐标；
（3）首先证明△ABK是等腰直角三角形，从而得出∠BKC=90°，所以∠CBK+∠ACB=90°，要使∠DAB+∠ACB=90°，需要满足∠DAB=∠CBK，在Rt△BKC中，可得出，∴，可求得M的坐标为，由待定系数法根据A、M的坐标可确定直线AM的解析式为：， 然后联立方程组，解得方程租的解，舍去不符合条件的解，即可求得点D的坐标。
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