1.3.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学北师版（2019）必修第一册(共31张PPT)

(共31张PPT)
3.2基本不等式
教学目标
01
02
用基本不等式解决代数式或函数的最值，并会解决一些实际问题
理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立条件
基本不等式的应用
重点
难点
基本不等式推导过程及成立条件
环节一
重要不等式
情境与问题
2002年8月 20日至28日，第24届国际数学家大会在北京召开，这是第一次在发展中国家召开的数学家大会，也是新世纪第一次数学盛会，本次大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客.
今天的课我们就从这个会标开始.
抽像概括
则AB= 正方形的面积S是
RtΔABF,RtΔBCG,RtΔCDH,RtΔADB是全等三角形,它们的面积总和为
2ab
观察图形S,什么大小关系？
S> ,
> ,
它们有相等的可能性吗？何时相等？
形
数
当直角三角形变成等腰直角三角形时，即a=b时，正方形EFGH缩成一个点，
当a=b时，
当意实数时，成立吗？
思考
结论
一般地，对于任意实数a,b,我们有
且仅当a=b时，等号成立，此不等式称为重要不等式
环节二
基本不等式
a换成
b换成
换元
证明
证明不等式
分析
要证
只要证
只要证
只要证
显然是成立的，当且仅当时取等号
基本不等式
若，则
通常写作：
当且仅当时取等号，这个不等式叫做基本不等式，适用范围
在数学中，我们把叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本不等式几何解释
如图，AB是圆O的直径，O为圆心，点C是AB上一点，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,OD.
如何用表示OD
如何用表示CD？
OD与CD的大小关系怎样？
OD=
CD=
OD CD
半径不小于弦长的一半
对比
重要不等式
基本不等式
若，则当且仅当=时取等号
拓展
环节三
基本不等式求最值
例1
（1）已知，求最小值。
解：
当且仅当，即取等号。
正
定
等
选题目的
①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，三个环节都俱备；
②从题目的功能上，是求和式的最小值。
例1
（2）已知，求最大值。
解：， 当且仅当，即取等号。
正
定
等
选题目的
①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【正】上；
②从题目的功能上，是求和式的最大值。一般求和式的最小值。
例1
(3)已知，则最小值。
≥
当且仅当时等号成立
正
定
等
选题目的
①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【定】上；
②从题目的功能上，是求和式的最小值。
例2
若求最大值
解：
当且仅当等号。
的最大值是
正
定
等
选题目的
①本道题在【正】【定】【等】三个环节上，难度在【定】上；
②从题目的功能上，是积式的最大值。
提炼
应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当 时，和x+y有最小值
（2）如果和x+y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值
环节四
基本不等式的实际应用
（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例3
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为.
（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，上述等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m.
（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例3
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为.
（2）由已知得，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
选题目的
①体现了基本不等式应用的广泛性；
②既有和最小，又有积最大，紧扣【和定积最大，积定和最小】
③双元代数式最值问题，例1和例2是单元。说明基本不等式的功能有进一步探讨的必要性。
环节五
小结
课堂小结
1．核心要点
重要不等式
2．数学素养
基本不等式及其应用（最值、实际应用）（单元+多元）
培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识