1.3.1不等式的性质课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册(共23张PPT)

(共23张PPT)
第1章 预备知识
1.3.1 不等式的性质
北师大版必修第一册
≠ ＞＜ ≥ ≤
01
不等关系及其表示
02
实数大小的比较
03
一个重要不等式
04
等式的性质是哪些？
05
不等式的性质又是哪些呢？
不等关系及其表示
1
不等关系及其表示
1
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
不等关系及其表示
1
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋
白质的含量应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设该路段行驶的汽车速度为，则
，
设三角形三边分别为，则
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
不等关系及其表示
1
【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查
发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价
才能使涨价后的总收入不低于20万元
【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
万元，
≥20，求出不等式的解，即可求出定价
所以用不等式表示为：
单价涨了多少元
单价涨了多少个0.1元
销量少了多少个2000元
实数大小的比较
2
实数大小的比较
2
如何解不等式 ≥20呢？
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
实数大小的比较
2
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来
规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分
别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当
点A和点B重合时，.
A
B
B
A
A(B)
实数大小比较
的基本事实①
【作差法】
①
②
③
实数大小的比较
2
设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；
当的值等于1时，.
①
②
③
实数大小比较
的基本事实②
【作商法】
设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；
当的值等于1时，.
①
②
③
实数大小的比较
2
比较和的大小.
【解】运用作差法：
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
2＞0，
所以＞
实数大小的比较
2
再
，比较和的大小.
【解】运用作商法：
1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
， 所以，
即 ，所以
一个重要不等式
3
一个重要不等式
3
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来
源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知，
一个重要不等式
3
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，
当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为,,当且仅当时，等号成立.所以
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
等式的性质是哪些？
4
等式的性质是哪些？
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★【对称性】
★【传递性】
★【加减性】
★【同乘性】
★【同除性】
如果，那么
如果，，那么
如果，那么
如果，那么
如果，，那么
我成立，你不一定成立！
为什么啊？
c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！
时，我也成立！
那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！
不等式的性质又是哪些呢？
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不等式的性质又是哪些呢？
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★【对称性】
★【传递性】
如果，那么.即
如果，，那么.即，
证明：
如果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：
如果且，那么只能得到，无法得到；
如果且，那么只能得到，无法得到；
如果且，那么可以得到. 此时有.
不等式的性质又是哪些呢？
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★【可加性】
★【可乘性】
★【同向可加性】
如果，那么
如果，，那么；
如果，,那么
不等式两边同时加上一个数，不变号
不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
如果，，那么
不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .
如果，,那么
如果，,那么
只有一个等式有等号也是传递不过去的.
不等式的性质又是哪些呢？
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★【同向同正可乘性】
★【同正可乘方性】
如果， ，那么
我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！
如果，那么
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？
等式
不等式
不等式的性质又是哪些呢？
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已知，，求证
【分析】因为，所以要证，可先证明
【证明】因为，所以， .
所以 ，
因为，所以，即