2023-2024学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4 解直角三角形 解答题提升训练 （含答案）

2023-2024学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《2.4解直角三角形》
基础解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．
2．如图，△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，tanB＝，求AB的长．
3．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．
4．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
5．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
6．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝10，求△ABC的面积．
7．如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，∠ABC＝60°，求tanC的值．
8．如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，cosB＝，求BC长，
9．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝60°，AB＝4，求△ABC的面积．
10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠A＝60°．
（1）求BC的长．
（2）求sinB．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，sinB＝．
（1）求边BC的长度；
（2）求cosA的值．
12．如图，在△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AC＝2，求BC的长．
13．如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，AB＝4，求BC的长．
14．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cosB＝，tanC＝3．
（1）求∠B的度数．
（2）求BC的长．
（3）求△ABC的面积．
15．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2+2，求AC，BC的长．
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝135°，BC＝2，则AB的长为多少？
17．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝．
求：（1）AC的值；
（2）sinC的值．
18．已知：△ABC中，AC＝2，∠C＝30°，∠B＝45°，求AB和BC的长．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求四边形ABCD的面积．
20．如图，在△ABC中，BC＝，∠B＝30°，∠C＝45°，
求△ABC的面积．
21．如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求AB的长．
22．如图，一个四边形材料ABCD的一段CD卡在模具中无法测量，AB∥CD，AB与CD之间的距离为120cm，∠A＝40°，∠ABC＝127°，AB＝80cm，求CD的长度．（参考数据：tan40°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
23．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
参考答案
1．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△CDB中，∠B＝45°，BC＝4，
∴CD＝BCsin45°＝4×＝4，
BD＝BCcos45°＝4×＝4，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴AD＝＝4，
∴AB＝AD+BD＝4+4，
∴AB的值为4+4．
2．解：过C点作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∵sinA＝，cosA＝，
即sin30°＝，cos30°＝，
∴CD＝×2＝，AD＝×2＝3，
在Rt△BCD中，∵tanB＝，
∴BD＝＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．
3．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，AB＝10，
∴AD＝＝＝5，cosB＝＝，
∴＝，
∴BD＝5；
在Rt△ADC中，
∵AD＝5，AC＝14，
∴DC＝＝＝12，
∴BC＝BD+CD＝5．
4．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
在Rt△ACD中，
∵∠C＝60°，AC＝2，
∴sinC＝＝，cosC＝＝，
∴＝，＝，
∴AD＝，CD＝1，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，AD＝，
∴AD＝BD＝，sinB＝＝，
∴，
∴AB＝，BC＝BD+CD＝．
5．解：（1）如图甲，过C点作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2；
（2）如图乙，过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，
∴AD＝CD＝AC＝，
在Rt△CDE中，∠CED＝30°，
∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，
∴BE＝CE＝，
∴．
6．解∵∠C＝90°，sinA＝，
设BC＝2x，AB＝3x
∴（3x）2﹣（2x）2＝102，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，
∴BC＝4，AB＝6，
∴S△ABC＝＝＝20．
7．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AB＝12，
∴AD＝ABsin60°＝12×＝6，
BD＝ABcos60°＝12×＝6，
∵BC＝15，
∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，
在Rt△ADC中，tanC＝＝＝，
∴tanC的值为．
8．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ADC中，AC＝12，∠C＝30°，
∴AD＝AC＝6，
CD＝AD＝6，
在Rt△ABD中，cosB＝，
∴＝，
∴设BD＝4k，AB＝5k，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴（4k）2+36＝（5k）2，
∴k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴BD＝8，
∴BC＝BD+CD＝8+6，
∴BC长为8+6．
9．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝60°，∠BAC＝75°，
∴∠BAD＝30°，∠CAD＝45°，
∴BD＝AB＝2，
∴AD＝CD＝＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+2，
∴S△ABC＝ BC AD＝×（2+2）×2＝2+6．
10．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝60°，AC＝8，
∴∠ACD＝30°．
∴AD＝AC＝4．
∴CD＝＝4，BD＝AB﹣AD＝1．
在Rt△BCD中，
BC＝＝＝7．
（2）在Rt△BCD中，
由（1）知：CD＝4，BC＝7，
∴sinB＝＝．
11．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝，sinB＝，
∴AD＝ABsinB＝×＝2，
∴BD＝＝＝1，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD＝2；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵△ABC的面积＝AB CE＝BC AD，
∴CE＝2×2，
∴CE＝，
∴AE＝＝＝，
在Rt△AEC中，cos∠CAE＝＝＝．
12．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC＝＝，
∴AD＝CD．
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（CD）2+CD2＝（2）2．
∴CD2＝36．
∴CD＝6，AD＝4．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝4．
∴BC＝AD+CD
＝4+6
＝10．
13．解：过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
所以∠DAC＝60°，CD＝AD，
所以∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°，
即△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝AB＝
所以CD＝
所以BC＝BD+DC＝+
14．解：（1）∵∠B为锐角且cosB＝，
∴∠B＝60°；
（2）∵cosB＝，
∴＝，
∵AB＝6，
∴BH＝3，
在Rt△ABH中，
AH＝，
∵tanC＝3，
∴，
即，
解得CH＝1，
∴BC＝BH+CH＝3+1＝4；
（3）S＝6．
15．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴AD＝＝＝x，
在Rt△CDB中，∠B＝45°，
∴BD＝＝x，
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝2+2，
∴x＝2，
∴CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，BC＝CD＝2，
∴AC的长为4，BC的长为2．
16．解：过A作AD⊥BC交线段BC延长线于D，设AD长为x．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠C＝135°，
∴∠ACD＝45°＝∠CAD．
∴AD＝CD＝x，BD＝BC+CD＝2+x．
在Rt△ADB中，
∵∠B＝30°，tanB＝＝．
∴AB＝2AD＝2x，＝．
∴x＝，
∴AB＝2+2．
答：AB的长为2+2．
17．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，∵AD＝12，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC＝＝＝13；
（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝12，AC＝13，
∴sinC＝＝．
18．解：作AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AD＝AC＝1，
在Rt△ACD，根据勾股定理得，CD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠DAB＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝1，则BC＝1+，
∴AB＝，
19．解：延长BC、AD相交于点E．
在Rt△ABE中，
∵tanA＝＝，AB＝3，BC＝2，
∴BE＝4．
∵CE+BC＝BE，
∴CE＝2．
∵∠B＝∠D＝90°
∴∠A+∠DCB＝180°．
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DCE＝∠A．
在Rt△CDE中，
∵tan∠DCE＝＝，设DE＝4k，DC＝3k．
则＝2．
∴k＝，DE＝，DC＝．
∴S四边形ABCD＝S△ABE﹣S△CDE
＝×AB BE﹣CD DE
＝×3×4﹣××
＝6﹣
＝．
20．解：作AD⊥BC与D，如图，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴BD＝AD＝x，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
而BD+CD＝BC，
∴x+x＝2+2，解得x＝2，
即AD＝2，
∴△ABC的面积＝×2×（2+2）＝2+2．
21．解：∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC＝∠C＝45°．
∵sinC＝，
∴AD＝CD＝．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD＝，
∴AB＝2AD＝2．
22．解：过点C作CM⊥AB，交AB延长线于点M，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，则∠M＝∠N＝90°，如下图所示：
∵AB//CD，
∴∠M+∠MCN＝90°，
∠MAN+∠N＝90，
∴∠MCN＝90°，∠MAN＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM＝CN，CM＝AN，
∵AB与CD之间的距离为120cm，
∴CM＝AN＝120cm，
∵∠ABC＝127°，
∴∠MBC＝53°，
∴BM＝cm，
∵AB＝80cm，
∴AM＝AB+BM＝80+90＝170（cm），
∴CN＝170cm，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ADN＝40°，
∴DN＝（cm），
设CD＝xcm，
则x＝CN﹣DN＝170﹣144＝26（cm），
故CD的长度为：26cm．
23．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．