宁夏石嘴山市平罗县中2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题（A卷）（含解析）

平罗县中2022-2023学年高二下学期期末考试
（理科）数学（A）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知集合，，且，则m的值为（ ）
A. B. 或
C 或或 D. 或或或
2. 命题“”的否定是（ ）
A B.
C. D.
3. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.
A. B. C. D.
5. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
6. 已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
7. 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
10. 偶函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数是定义在R上奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13. 函数定义域为______.
14. 设命题函数是增函数；命题方程表示椭圆. 若是真命题，则实数的取值范围是_________.
15. 已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
16. 函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是__________.
①既不是奇函数也不是偶函数；
②的最小正周期为4；
③在上单调递减；
④是的一个最大值；
⑤.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 在数列中，，，设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
18. 如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.
（1）证明：平面CBD⊥平面ABD；
（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
19. 某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30% .
周平均阅读时间 语文成绩 少于 10小时 不少于 10小时 合计
低于75分
不低于75分 100
合计 250
（1）完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？
（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
20. 已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
21. 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4—4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数m的取值范围．
平罗县中2022-2023学年高二下学期期末考试
（理科）数学（A）答案解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知集合，，且，则m的值为（ ）
A. B. 或
C. 或或 D. 或或或
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.
详解】由可得或，解得，，或.
又集合与，故，故，或.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对复数化简求出复数实部和虚部，然后根据题意列不等式组求解即可
【详解】，
因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以，解得，
故选：A
4. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①函数与是同一个函数；②若，则或；③若随机变量，，则；④在回归分析模型中，残差的平方和越大，模型的拟合效果越好.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式可判断①，根据原命题的逆否命题的真假判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据回归分析的性质可判断④.
【详解】对①，函数，与不是同一个函数，故①错误；
对②，“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题也为真命题，故②正确；
对③，随机变量，则其正态分布图象关于对称，，故③错误；
对④，在回归分析模型中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，故④错误.
故选：B
5. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，
经验证，，故.
故选：B.
6. 已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【详解】令，解得或由此解得，
故选：D
7. 已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为“，”为真命题，即可根据最值求解.
【详解】由于命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，
故即可，由于函数在单调递增，故当，
因此，
故选：C
8. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.
【详解】解不等式得，
不等式化为，所以，
因为为的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先真数需要大于零，设，考查其单调性，再结合函数的单调性，根据复合函数的单调区间满足的“同增异减”原则即可判定.
【详解】令，得或
设，则在上为减函数，
又在上为增函数；
可得的单调减区间为，
故选：
10. 偶函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可得函数的周期为4，再利用周期和偶函数的性质可求得结果.
【详解】因为满足，所以，
所以是以4为周期的周期函数，
因为为偶函数，且当时，，
所以，
故选：A
11. 如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．
详解】因为是边长为2的等边三角形，
所以当时，设直线与交点为，
当点在中点左侧时，，，
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，
当点在中点右侧时，，
此时左侧部分面积为：，
此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，
故选：D
故选：D．
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可判断函数的奇偶性和单调性，进而分两种情况即可求解.
【详解】由，且，都有可知函数在上单调递减，
记，则所以为偶函数，
因此在单调递增，且，
不等式等价于和，
故或，解得或，
故不等式的解为，
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】由即可求出.
【详解】由，解得且，
所以的定义域为.
故答案为：.
14. 设命题函数是增函数；命题方程表示椭圆. 若是真命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出命题、命题为真时参数的取值范围，再取交集即可.
【详解】若命题函数是增函数为真命题，则，解得，
若命题方程表示椭圆为真命题，则，解得或，
因为是真命题，所以为真命题且为真命题，
所以或，即实数的取值范围是.
故答案为：
15. 已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．
【详解】若函数在上是单调减函数，
则，解得，
即，
故答案为：．
16. 函数的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，在上单调递增，且为偶函数，为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是__________.
①既不是奇函数也不是偶函数；
②的最小正周期为4；
③在上单调递减；
④是的一个最大值；
⑤.
【答案】②③⑤
【解析】
【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得，再结合前面的可得，，从而可得为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.
【详解】对于①②，因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，所以，
因为为奇函数，所以，所以，
所以，所以，，
所以为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，
对于③，因为为奇函数，在上单调递增，所以在上递增，
因为的图象关于直线对称，所以在上递减，
因为的周期为4，所以在上单调递减，所以③正确，
对于④，因为的定义域为R，且为奇函数，所以，
因为在上递增，在上递减，的周期为4，所以在上递增，，所以在上的最大值为，
因为，所以不是的一个最大值，所以④错误，
对于⑤，因为，所以当时，得，当时，得，所以，
因为的周期为4，所以，所以⑤正确，
故答案为：②③⑤
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性、单调性、对称性和周期性的综合问题，解题的关键是由已知条件得到为奇函数，周期为4，再根据对称性研究一个周期上函数的性质，考查计算能力，属于较难题.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 在数列中，，，设.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到，再利用分组求和求解
【小问1详解】
证明：因为，，
所以数列是等比数列；
小问2详解】
由，
，
，
所以
，
，
.
18. 如图所示，在三棱锥C—ABD中，AB⊥BD，，BC⊥CD，，E是AD的中点，.
（1）证明：平面CBD⊥平面ABD；
（2）求直线BC与平面ACD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取BD的中点O，连接OC，OE，令，则，，，OC⊥BD，然后由勾股定理逆定理可得OC⊥OE，再由线面垂直的判定可得OC⊥平面ABD，最后由面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：取BD的中点O，连接OC，OE，
令，因为AB⊥BD，，所以，
因为 E是AD的中点 ，所以 ，
因为BC⊥CD，，所以，OC⊥BD，
因为，所以OC⊥OE，
因为平面ABD，，
所以OC⊥平面ABD，
因为平面CBD，所以平面CBD⊥平面ABD
【小问2详解】
分别以OE、OD、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则
，
所以，
设平面ACD的法向量为，则，
，令，则，
设直线BC与平面ACD所成角为，则
，
所直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.
19. 某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加全市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，将调查结果整理成如下列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30% .
周平均阅读时间 语文成绩 少于 10小时 不少于 10小时 合计
低于75分
不低于75分 100
合计 250
（1）完成列联表，并判断有多大的把握认为语文成绩与阅读时间有关？
（2）先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后再从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，
0.025 0.010 0.001
5.024 6.635 10.828
【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关
（2）分布列见解析，2
【解析】
【分析】（1）根据题意先求出样本中语文成绩不低于75分的人数，然后结合表中的数据可完成列联表，再利用公式可求出，然后根据临界值表进行判断，
（2）由题意可知，求出相应的概率，从而可求出X的分布列与数学期望.
【小问1详解】
由题意得样本中语文成绩不低于75分的人数为人，
则列联表如下：
周平均阅读时间 语文成绩 少于 10小时 不少于 10小时 合计
低于75分 200 150 350
不低于75分 50 100 150
合计 250 250 500
所以，
所以有99.9%的把握认为语文成绩与阅读时间有关
【小问2详解】
在成绩不低于75分的样本中，抽取周阅读时间少于10小时的3人，抽取周阅读时间少于10小时的6人，故，
，，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
20. 已知椭圆C：的离心率是，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点.
【解析】
【分析】（1）根据离心率和过点即可求出即可求出椭圆方程；
（2）先设直线根据根与系数的关系结合中点坐标，可求关系即可得出定点.
【小问1详解】
由题意得：，，
椭圆C的方程为
【小问2详解】
由题意得：
设，
由得：，
，
直线AP：
当时，，即M的坐标为
同理可得：N的坐标为
，即：
直线l过定点.
21. 已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）在上的单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得，分，分别确定导数的符号，从而得函数单调性；
（2）方法一：转化不等式，构造函数令，，求导，对函数进行单调性讨论，即可求得函数最值，从而得a的取值范围；方法二：令，，，将不等式转化为函数凸凹性应用，求导结合图象分析即可求得a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
当时，，，
即：在上恒成立
所以在上的单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由得：
当时，恒成立，符合题意
令，
由（1）得：在上的单调递增，
①当时，
所以在上的单调递增
所以，符合题意
②当时，，
∴存在，使得
当时，；
所以在上的单调递减，
当时，，这不符合题意
综上，a的取值范围是.
方法二：
令，，
则，符合题意
，
由（1）得：在上恒成立，在上单调递增
所以，
所以在上单调递增，其图象是下凸的，如图：
所以，曲线在点处切线方程为：
要使得在上恒成立
只需
所以，a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数不等式恒成立求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）构造差函数：设差函数，求导转化为函数最值问题，从而确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4—4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】（1），
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标和参数方程的互换公式求解即可；
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
【小问1详解】
直线l的参数方程为，两式相加可得，即直线l的普通方程为；
曲线C的极坐标方程为，则，即，故曲线C的直角坐标方程为；
【小问2详解】
设两点对应的参数分别为，
将l的参数方程代入得：，
.
选修4—5：不等式选讲
23. 已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解；
（2）根据绝对值三角不等式即可利用最值求解.
【小问1详解】
当时，，
，
当时，不等式为解得，
当时，不等式为解得，
当时，不等式为解得，
综上可得：，
不等式的解集为.
【小问2详解】
恒成立，
，
当且仅当时等号成立，
，
或，
，
m的取值范围是.