黑龙江省鸡西市鸡东县2022-2023学年高三上学期期中数学试卷（含答案）

2022-2023年度上学期期中考试
高三数学试题
一、选择题
1、已知集合，，若，则实数a的取值为( )
A.1 B.-1或2 C.2 D.-1或1
2、设m，n表示不同的直线，，表示不同的平面，且m，.则“”是“且”的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3、在等差数列中，若，则( )
A.60 B.56 C.12 D.4
4、设i为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
5、已知，，，则( )
A.-6 B.-8 C.6 D.8
6、已知x，y，，且满足.则的最小值为( )
A.12 B.6 C.9 D.3
7、已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8、已知，是双曲线(，)上关于坐标原点O对称的两点，P为该双曲线上任一点(与，不重合)，已知与斜率之积为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10、已知在等比数列中，，，是的前n项和，则下列说法正确的是( )
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列是等差数列
D.数列中，，，仍然构成等比数列
11、已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.若直线l垂直于x轴，则 B.
C.若，则直线l的斜率为 D.若，则
12、某制造企业一种原材料的年需求量为16000千克(该原材料的需求是均匀的，且不存在季节性因素)，每千克该原材料标准价为200元.该原材料的供应商规定：每批购买量不足1000千克的，按照标准价格计算；每批购买量1000千克及以上，2000千克以下的，价格优惠；每批购买量2000千克及以上的，价格优惠.已知该企业每次订货成本为600元，每千克该原材料年平均库存成本为采购单价的.该企业资金充足，该原材料不允许缺货，则下列结论正确的是( )
(采购总成本=采购价格成本订货成本库存成本，A为原料年需求量，B为平均每次订货成本，C为单位原料年库存成本，Q为订货批量即每批购买量，p为采购单价)
A.该原材料最低采购单价为180元/千克
B.该原材料最佳订货批量为800千克
C.该原材料最佳订货批量为2000千克
D.该企业采购总成本最低为2911800元
三、填空题
13、已知角的终边经过点，则______.
14、从2021年起重庆市新高考，打破文理分科实行“”模式，“3”代表语、数、外三科，每人必选这3科，“1”代表学生从物理和历史两科中任选1科，“2”代表学生从化学、生物、政治、地理四科中任选2科，每个学生的选科方式共有________种.
15、正方体的棱长为分别是的中点,则点到平面的距离为__________________.
16、下面四个命题：
①已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，则；
②存在负数k，使得恰有3个零点；
③已知多项式，则；
④设一组样本数据的方差为0.01，则数据，，…，的方差为0.1，其中真命题的序号为___________.
四、解答题
17、已知向量，，，设函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，求的周长l的取值范围.
18、已知数列的前n项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
19、甲乙两队各有2位队员共4人进行“定点投篮”比赛，规定在一轮比赛中，每人投篮一次，投中一球得2分，没有投中得0分.现已知甲队两位队员每次投篮投中的概率均为.乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为，.
(1)若，，分别计算甲乙两队在一轮比赛中得2分的概率，并根据这两个数据说明哪个队在一轮比赛中得到2分的可能性大？
(2)某同学发现：若，则甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等；他根据这一发现又得出结论：若，则在一轮比赛中，按两队的均分决定胜负，这两队一定是平局；记在一轮比赛中甲队得分为，乙队得分为，请你写出甲乙两队得分的分布列，对该同学的发现的正确性给予证明，并简要说明该同学得出的结论是否正确.
20、如图，四棱锥中，平面ABCD，，，，EF分别为PB，AB的中点.
(1)求证：平面平面EFC；
(2)若，求二面角的正弦值.
21、已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点
(1)求，的方程；
(2)如图，过点作椭圆的切线交于A，B两点，在x轴上取点G，使得，试解决以下问题：
①证明：点G与点E关于原点中心对称；
②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线AB的方程.
22、处于信息化时代的现代社会，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”是数学中的正弦型函数.已知某一类型信号的波形可以用和进行叠加生成，即生成的波形对应函数解析式为.
(1)若，讨论在上的单调性，并判断其极值点的个数(提示：)；
(2)若，令，函数，写出函数的导函数在上的零点个数，并说明理由
2022-2023年度上学期期中考试
高三数学试题参考答案
选择：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A A D D C D AB AC ABD ACD
13、答案：
14、答案：12
15、答案：
16、答案：①③
17、答案：(1)；
(2).
解析：(1)
，
因为，所以，所以，
所以，所以.
(2)因为，所以
所以，因为，所以，
由余弦定理得：，即，
所以，所以，
所以，可得，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)，
.
.
数列的前n项和为，
.
.
所以数列是首项为，公比为2的等比数列.
.
当时，由和得，
解方程得.
.
数列的通项公式为.
(2)由(1)知：.
.
.
.
19、答案：(1)甲队的概率为，乙对的概率为，乙队在一轮比赛中得到2分的可能性大.
(2)分布列见解析，证明见解析.
解析：(1)因为甲队两位队员每次投篮投中的概率均为，
乙队两位队员每次投篮投中的概率分别为，，
甲队在一轮比赛中得2分的概率为，
乙队在一轮比赛中得2分的概率为，
因为，所以乙队在一轮比赛中得到2分的可能性大.
(2)由题意，甲队得分为的可能取值0，2，4，
可得，，，
所以随机变量的分布列为：
0 2 4
P
所以甲队得分期望为，
乙队得分为的可能取值0，2，4，
可得，，，
所以随机变量的分布列为：
0 2 4
P
所以乙对得分期望为，
若，可得，甲乙两队在一轮比赛中得分的期望值就相等，
这位同学的结论是不正确的，因为期望相等仅代表大量重复比赛结束后两同学的得分平均取值大小应该相等，但在实际的一局比赛中，比分仍然是不确定的，两人得分可能不等，所以结论不正确.
20、答案：(1)见解析；
(2).
解析：(1)E，F分别为PB，AB的中点，，
平面PAD，PA 平面PAD，平面PAD，
，，，.
四边形ADCF为平行四边形，即，
平面PAD，平面PAD，平面PAD，
，EF，平面EFC，
平面平面EFC；
(2)由，，
所以，所以，又，
所以为等边三角形，
又F为AB中点，
作于H，
又平面ABCD，
所以，
所以平面PAC，
作于G，连接FG，
则为二面角的平面角，
又，，
所以，
所以.
21、答案：(1)，
(2)
解析：(1)因为点到抛物线的准线的距离等于5，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)解：①因为，且直线AB与椭圆相切，
所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
联立，得，
因为直线AB与椭圆相切，
所以，即，
联立，得，
设，，则；
设，因为，所以，
则，即，
即，
又，所以，即，
即点G与点E关于原点中心对称；
②椭圆四个顶点所围成菱形面积为，
所以的面积为，
则
，
令，即，
即，即，
即，
即，
因为，所以，，；
所以直线AB的方程为.
22、答案：(1)函数的单调递增区间为，，单调递增区间为，，有三个极值点；
(2)在上的零点个数为1，理由见解析.
解析：(1)因为，所以，
因此，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此，是函数的极大值点，，是函数的极小值点，
综上所述：函数的单调递增区间为，，单调递增区间为，，有三个极值点；
(2)因为，所以，
因此，
设，
所以，
当时，因为，，所以，单调递减，
当时，，，
，
所以，因此此时函数单调递减，
所以当时，函数单调递减，因为，
所以函数在时有唯一零点，即在上的零点个数为1.