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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
【教学目标】
1、理解三角形及其内角、外角、边、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2、会证明三角形中任意两边之和大于第三边。探索并证明三角形内角和定理及三角形外角性质。
3、通过具体实例，了解定义、命题、基本事 ( http: / / www.21cnjy.com )实、定理、推论的意义。会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆命题。知道原命题成立其逆命题不一定成立。www.21-cn-jy.com
4、知道证明的意义和必要性。知道证明要合乎逻辑，会综合法证明的格式，打好形式化证明的基础。
5、了解反例的作用。知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
【重、难点】
1、重点：三角形的边角关系，及区分一个命题的题设和结论，综合法证明一个几何命题的方法和步骤。
2、难点：简单反例的构造；一个几何命题综合法证明思路的分析和证明过程的规范表述。
【教学过程】
1、内容整理：
（多媒体展示）
2、主要知识回顾：
1、三角形中的边角关系：
⑴ 三角形中，任一边＿＿其余两边和，＿＿其余两边差。
⑵ 三角形三内角和等于＿＿＿＿。
2、用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义。
3、命题有真假之分。要说明一个命题是假命题，只要＿＿＿就可以了；而要说明一个命题是真命题，必须＿＿＿＿＿＿＿＿。2·1·c·n·j·y
4、用自己的语言说说证明的基本步骤。
5、由三角形内角和定理可以推出三角形外角与内角的关系：
⑴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
⑵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、三角形三边之间的关系
（1）知识点分析
三角形的三边关系是中考的常见考点。它的应用主要体现在以下几方面：
⑴ 判断已知长度的三条线段能否构成三角形或已知三角形的两边长求第三边长的取值范围。
⑵ 应用三角形三边关系进行不等关系的推理。
（2）例题讲解
例1：下列各组数据可能是一个三角形的边长的是【 】
A、1，2，4 B、4，5，9
C、4，6，8 D、5，5，11
【点评】本题主要考查三角形的三边关系定理：三角形中任意两边的和大于第三边。
例2：若 ( a－1 )2＋｜b－2｜＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为＿＿。
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、非负数的性质以及三角形的三边关系。难点在于分情况讨论求解。
（3）巩固练习
（多媒体展示）
四、三角形的内角和
（1）知识点分析
三角形内角和定理及其推论是求解角的相等或不 ( http: / / www.21cnjy.com )等关系等问题的依据，善于发现并灵活运用内角、外角的关系是学好几何的第一步。利用三角形内角和定理及其推论进行有关的计算和证明是中考考查的重点。21世纪教育网版权所有
（2）例题讲解
例3： 如图所示，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118 ，则 ∠A的大小是＿＿＿。21cnjy.com
【点评】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和定理。
例4：如图所示，已知 AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥CD，∠EBA＝45 ，则 ∠E＋∠D 的度数为【 】
A、30 B、60 C、90 D、45
【点评】 本题主要考查平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系。
（3）巩固练习
（多媒体展示）
5、命题与证明：
（1）知识点分析
定义、命题、定理既是本章学习的 ( http: / / www.21cnjy.com )基本内容，也是解决相关问题的依据，而且在生活中也经常用到，它们所提供的思想和方法对我们解决实际问题有很大帮助。【来源：21·世纪·教育·网】
判断一个命题是真命题，需要进行严密的推理论证，而判断一个命题是假命题，则只需举出一个反例。
（2）例题讲解
例5： 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE 交 DE于点F 。
⑴ 求证：CF∥AB；
⑵ 求∠DFC的度数。
【点评】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理。
例6：如图，已知: AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交 AB 于点 E。试说明 DE＝AE 的理由。 21教育网
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的特点。
（3）巩固练习
（多媒体展示）
6、本章思想方法归纳
1、方程思想：
方程思想就是通过设未知数建立方程来求解问题，如对要求的角度列式计算很复杂时，即可通过列方程来解决。
例题：如图，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC于点D，求∠ABD的度数。
2、分类讨论思想
分类讨论思想，就是当问题所给的对象 ( http: / / www.21cnjy.com )不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题来解决，另一方面恰当的分类可避免漏解，提高全面考虑问题的能力，培养严谨的数学素养。21·cn·jy·com
例题：已知等腰三角形的两底角相等，且一腰上的高与另一腰的夹角为 40 ，求这个等腰三角形的底角。
3、转化思想：
在几何题的证明或求解过程中，常常需要 ( http: / / www.21cnjy.com )借助等角、等边之间的相互转化来证明所得的结论或解决所求的问题，这体现了数学中的转化思想。此外，在几何题的求解过程中，为了求解的需要，常借助辅助线的添加来体现转化思想的运用。因此，在数学中，转化思想是贯穿始终的一种数学思想方法，应灵活把握。
例题：
求证：四边形的内角和为360°。
例3图
例4图
例5 图
例6图
6-1-例图
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 4 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网(共31张PPT)
（复习课）
【沪科版八年级数学（上）】
三角形中元素
命题
基本事实
边、角及其关系
真命题
假命题
主要线段（角平分
线、中线、高）
定理
推论
1、三角形中的边角关系：
⑴ 三角形中，任一边＿＿＿＿其余两边和，＿＿＿＿其余两边差。
⑵ 三角形三内角和等于＿＿＿＿。
小于
大于
180
2、用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义。
3、命题有真假之分。要说明一个命题是假命题，只要＿＿＿＿＿＿＿就可以了；而要说明一个命题是真命题，必须＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、用自己的语言说说证明的基本步骤。
5、由三角形内角和定理可以推出三角形外角与内角的关系：
⑴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
⑵ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
举出一个反例
进行严
密的推理与论证
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
三角形的三边关系是中考的常见考点。它的应用主要体现在以下几方面：
⑴ 判断已知长度的三条线段能否构成三角形或已知三角形的两边长求第三边长的取值范围。
⑵ 应用三角形三边关系进行不等关系的推理。
下列各组数据可能是一个三角形的边长的是【 】
A、1，2，4 B、4，5，9
C、4，6，8 D、5，5，11
C
本题主要考查三角形的三边关系定理：三角形中任意两边的和大于第三边。
【点评】
【例 1】
【例 2】
若 ( a－1 )2＋｜b－2｜＝0，则以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为＿＿。
【点评】
本题主要考查等腰三角形的性质、非负数的性质以及三角形的三边关系。难点在于分情况讨论求解。
5
1、在长为 12cm、10cm、8cm、4cm 的四根木条中选三根组成三角形，可以组成的三角形共有【 】
A、1 个 B、2 个
C、3 个 D、4 个
2、已知三角形三条边的长分别为 2、a、4 ，那么 a 的取值范围是【 】
A、1＜a＜5 B、2＜a＜6
C、3＜a＜7 D、4＜a＜6
C
B
3、等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为__________。
6，4 或 5，5
20
三角形内角和定理及其推论是求解角的相等或不等关系等问题的依据，善于发现并灵活运用内角、外角的关系是学好几何的第一步。利用三角形内角和定理及其推论进行有关的计算和证明是中考考查的重点。
【例 3】
如图所示，点 O 是
△ABC 的两条角平分线
的交点，若 ∠BOC＝
118 ，则 ∠A的大小是＿＿＿。
【点评】
本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和定理。
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【例 4】
【点评】
本题主要考查平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系。
如图所示，已知 AB∥CD，∠EBA
＝45 ，则 ∠E＋∠D 的度数为【 】
A、30 B、60
C、90 D、45
D
1、将一副三角板如图摆放，点 C 在 EF 上，AC 经过点 D 。已知 ∠A＝∠EDF＝90 ，AB＝AC。∠E＝30 ，∠BCE＝40 ，则 ∠CDF＝＿＿＿＿。
25
2、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50 ，则∠1＋∠2等于【 】
A、90
B、100
C、130
D、180
B
定义、命题、定理既是本章学习的基本内容，也是解决相关问题的依据，而且在生活中也经常用到，它们所提供的思想和方法对我们解决实际问题有很大帮助。
判断一个命题是真命题，需要进行严密的推理论证，而判断一个命题是假命题，则只需举出一个反例。
【例 5】
将一副三角板拼成如图所示的图形，过点 C 作 CF 平分∠DCE 交 DE 于 点 F 。
⑴ 求证：CF∥AB；
⑵ 求∠DFC 的度数。
【点评】
本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理。
⑴ 证明：
∵ CF 平分∠DCE
∵ ∠DCE＝90
∴ ∠3＝45
∴ AB∥CF
∴∠1＝45
∴∠1＝∠3
⑵ 解：
∵ ∠1＋∠D＋∠DFC＝180
且∠D＝30 ，∠1＝45
∴ ∠DFC＝180 －30 －45 ＝105
【例 6】
【点评】
本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的特点。
如图，已知 AD 是∠BAC 的平分线，DE∥CA，且交 AB 于点 E。试说明 DE＝AE 的理由。
并列推理，可交换顺序
证明：
∵ AD 平分∠BAC
即：AE＝DE
∴ DE∥CA
∴∠1＝∠2
∴ △AED 是等腰三角形
∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3
（已知）
（角平分线的性质）
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
1、命题“对顶角相等”的“条件”是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
两个角是对顶角
2、下列命题中，有的是定义，有的是基本事实，有的是定理，属于基本事实的是【 】
A、两点确定一条直线
B、对顶角相等
C、有一个角是直角的三角形是直角三角形
D、两直线平行，同位角相等
A
3、下列说法正确的是【 】
A、“作线段 CD＝AB ”是一个命题
B、三角形的三条内角平分线的交点在三角形的内部
C、命题“若 x＝1，则 x2＝1 ”的逆命题是真命题
D、“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
B
4、下列命题中，为真命题的是【 】
A、对顶角相等
B、同位角相等
C、若 a2＝b2 ，则 a＝b
D、若 a＞b，则 －2a＞－2b
A
5、如图所示，已知 AB∥EF，BC⊥CD，∠ABC＝30 ,∠DEF＝45 ，则∠CDE＝
＿＿＿＿。
105
一、方程思想
方程思想就是通过设未知数建立方程来求解问题，如对要求的角度列式计算很复杂时，即可通过列方程来解决。
如图，在 △ABC 中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC 于点 D，求∠ABD的度数。
解：设∠ABC＝∠C＝x，则∠BAC＝4x。
∵ ∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180
∴ ∠ABC＝∠C＝30 ，∠BAC＝120
∴ 4x＋x＋x＝180 解得： x＝30
∵ BD⊥AC
∴ ∠D＝90
∵ ∠BAC＝∠ABD＋∠D
∴ ∠ABD＝120 －90 ＝30
二、分类讨论思想
分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题来解决，另一方面恰当的分类可避免漏解，提高全面考虑问题的能力，培养严谨的数学素养。
已知等腰三角形的两底角相等，且一腰上的高与另一腰的夹角为 40 ，求这个等腰三角形的底角。
解：分两种情况：
如图①，高 BD 在△ABC 内部：
∵ BD⊥AC
∴ ∠BDC＝90
由题意，得： ∠DBA＝40
∴ 在△BDA 中：
∠A＝180 －90 －40 ＝50
∵ ∠ABC＝∠C
∴ ∠C＝(180 －50 )÷2＝65
如图②，高 BD 在△ABC 外部：
∵ BD⊥AC
∴ ∠D＝90
由题意，得：
∠DBA＝40
∴ 在△BDA 中：
∠BAD＝180 －90 －40 ＝50
∵ ∠ABC＝∠C，∠BAD＝∠ABC＋∠C
∴ ∠C＝50 ÷2＝25
综上所述，这个等腰三角形的底角为65 或25 。
三、转化思想
在几何题的证明或求解过程中，常常需要借助等角、等边之间的相互转化来证明所得的结论或解决所求的问题，这体现了数学中的转化思想。此外，在几何题的求解过程中，为了求解的需要，常借助辅助线的添加来体现转化思想的运用。因此，在数学中，转化思想是贯穿始终的一种数学思想方法，应灵活把握。
求证：四边形的内角和为360°
已知：（如图）四边形 ABCD
求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360
解法一：如图，连接 BD 。
在△ABD 中：
∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180
在△BCD 中：
∠DBC＋∠C＋∠CDB＝180
∴ ∠A＋∠ABD＋∠BDA＋∠DBC＋∠C＋∠CDB＝180 ＋180 ＝360
∴ ∠A＋∠ABC＋∠C＋∠CDA＝360
∴ 四边形 ABCD 的四个内角的度数之和是 360
解法二：如图，延长 AB，DC 相交于点 P 。
在△ADP 中：
∠A＋∠D＋∠P＝180
∴ ∠ABC＋∠BCD＝∠P＋∠BCP＋∠P＋∠PBC
∴ ∠A＋∠D＝180 －∠P
∴ 四边形 ABCD 的四个内角的度数之和是 360
∵ ∠ABC＝∠P＋∠BCP
∠BCD＝∠P＋∠PBC
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵ ∠BCP＋∠P＋∠PBC＝180
∴ ∠ABC＋∠BCD＝∠P＋180
∴ ∠ABC＋∠BCD＋∠A＋∠D
＝∠P＋180 ＋180 －∠P＝360
