第1章三角形的证明 暑期巩固提升综合训练题 2023—2024学年北师大版八年级数学下册（含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
暑期巩固提升综合训练题（附答案）
一、单选题
1．三角形的三边长分别为3，4，5，则最长边上的高为（　　）
A．6 B．12 C．2.4 D．4.8
2．如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，D是直角斜边上一点，，记，．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．不能确定
4．如图，点为线段与线段的垂直平分线的交点，，则等于（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A．120° B．102° C．150° D．124°
6．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ）

A． B．和相互垂直平分
C．且 D．且平分
7．如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）

A． B． C．5 D．6
8．如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作 ，交线段于，以下四个结论：
①；
②当为中点时，；
③当为等腰三角形时，；
④当时，．
其中正确的结论的个数是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，点D为的中点，，则的度数为 ．

10．如图，在中，，平分，交于点，且．若，则 ．
11．如图，中，，是边上任意一点，于点，在边上，于点，，则等于 ．

12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．

13．如图，是的角平分线，，垂足为，是的中线，，，．则的面积为 ．
14．如图，在中，，，点为上一动点，在上取点，使，连接，，当的值最小时，的度数为 ．

15．如图，在中，，，为上一点，交于点，且，连接，，则 ．

16．如图，已知平分，平分，、与直线分别交于点、，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题
17．作图：
如图，，按以下步骤使用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线；
②在上任意画出点E（不与点A重合）；
③连接．

问题：
(1)说明平分的理由；
(2)判断与的数量关系，并说明理由．（提示：为说明方便，可直接在尺规作图后的图中添加字母或线段）
18．在中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长．
19．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．
(1)若的周长为，的周长为．
①求线段的长；
②求线段的长．
(2)若，求的度数．
20．如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，的垂直平分线l与x轴交于点C，与交于点D，连接．
(1)求的长；
(2)若点E在x轴上，且的面积为10，求点E的坐标；
(3)已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
21．（1）如图1，，求的长度．

（2）如图2，，探索的数量关系，并证明．

（3）如图3，在中，，则 （用关于a、b的代数式表示）

参考答案
1．解：如图所示，过点C作交于点D，

∵三角形三边长分别是3，4，5，
∴设，，，
∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴，即，
解得．
∴它的最长边上的高为2.4．
故选：C．
2．解：连接，

根据勾股定理可得：
，，
∵，即，
∴是等腰直角三角形．
∴．
故选：C．
3．解：，
，
，，
，
，
，
即，
解得，
故选：B．
4．解：连接，如图所示：
∵点为线段与线段的垂直平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
故选：D．
5．解：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
6．解：是由翻折得到，
，，
，平分，
故选：D．
7．解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，
，，是的中线，
，平分，
在上，
在中，由勾股定理得：，
，
，
关于的对称点，
，
，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故选：B．

8．解：①，
，
，，
，
故①正确；
②为中点，，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
；
或为等腰三角形，
，
，
，
，
故③错误；
④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
综上所述正确的有①②④．
故选：．
9．解：∵，，
∴，则，
∵点D为的中点，
∴平分，
∴，
故答案为：．
10．解：∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
11．解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．解： 是的垂直平分线，
，
的周长为18，
，
的周长为：，
故答案为：26．
13．解：过点作，垂足为，
∵是的角平分线，，，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
14．解：过点作，使，连接，交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当三点共线时，的值最小，此时点与点重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15．解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
16．解：∵平分，平分，
∴
∵，
∴,即，故①正确；
∴,
∴,即②错误，③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴，即④正确．
故答案为①③④．
17．解：（1）尺规作图如下（作法不唯一）．

证明：根据作图痕迹可知，，，，
所以，所以，所以AD平分．
（2）解：．
理由如下：
因为，，，
所以（SAS），所以．
18．解：如图，

∵是边上的中线，
即，
∴ ，
若，则，
又∵，
联立方程组:,
解得：，
三边能够组成三角形；
若，则，
又∵，
联立方程组,
解得：，
三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为或．
19．（1）解：①∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
；
②∵是边的垂直平分线，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
20．（1）解：令时，则；令，则；
所以直线与两轴交点分别为，．
∵垂直平分；
∴．
设，在中，根据勾股定理得：，
则 解得：；
∴，
∴．
（2）解：设点，则；
∵D为的中点；
∴；
A、E在x轴上，， ；
∴，
∴，
解得：或18．
∴点E坐标为：或．
（3）解：P在y轴上，设．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①当B为顶点，时，由（1）得；
∴，解得：或9．
∴或，
②当C为顶点，时，
又∵，，
∴．
∴，即．
∴
③当P为顶点，时，
在中，根据勾股定理得：
，即：．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为或或或．
21．解：（1），，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；

（2），证明如下：
，，
，
，，
，
又∵，
，
，，
；

（3）在内部作交于，

，，
，
，
，
，
又∵，
，
，，
，
故答案为：．