贵州省六盘水市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

贵州省六盘水市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，若，则实数x的值为( )
A.-1或3 B.-1 C.3 D.-1或3或6
2、已知复数（i是虚数单位，a，），则( )
A.5 B. C. D.
3、已知向量，，若，则实数m的值为( )
A.1 B.4 C.-1 D.-4
4、已知一个球的体积与表面积的数值之比为，则其半径( )
A.12 B.6 C.3 D.
5、红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”.据统计，六盘水市某种植基地红心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布，则单果重量在的概率约为( )
（附：若，则，，）
A.0.9545 B.0.6827 C.0.2718 D.0.1359
6、第八届中国凉都·六盘水夏季马拉松将于2023年7月16日在六盘水市开跑.本次赛事以“清凉马拉松·激情六盘水”为主题，设有马拉松（42.195公里）、半程马拉松（21.0975公里）、大众健身跑三个项目.现从六盘水市某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务一个项目，每个项目至少安排一个志愿者，则不同的分配方案有_____种( )
A.12 B.24 C.36 D.72
7、已知数列的前n项和（c为常数），则“为等比数列”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8、已知直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作C的切线交于点P，若的面积为，则( )
A.1 B. C. D.2
二、多项选择题
9、已知数列，，下列说法正确的有( )
A.若是等差数列，则
B.若，，则为等比数列
C.若，则为递减数列
D.若是等比数列，且公比，则
10、下列说法正确的有( )
A.若变量y关于x的经验回归方程为且，，则
B.若随机变量，则
C.在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好
D.若随机变量的方差，则
11、现有来自某校高三年级的3袋专项计划审查表，第一袋有4个男生和2名女生的高校专项审查表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审查表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审查表.现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审查表，设“抽到第袋”（，2，3），“随机抽取一份，抽到女生的审查表”，则( )
A. B.
C. D.
12、若，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、已知的展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为____________.
14、已知圆，直线，则圆C上的点到直线l的距离最小值为__________.
15、已知，其中，则_____________.
16、若有且只有1个零点，则实数______________.
四、解答题
17、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，且，，成等差数列，求的周长.
18、“村BA”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.为了解外地观众对“村超”赛事的满意度，从中随机抽取了200名进行调查，得到满意率为80%.
(1)根据所给数据，完成2×2列联表；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 20
女性 40
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附，.
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆经过点，且离心率.
(1)求E的标准方程；
(2)经过原点的直线l与椭圆E交于A，B两点，P是E上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值.
20、如图，在长方体中，，，点M在长方体内（含表面）且满足.
(1)当时，证明：平面；
(2)当时，是否存在点M，使得直线DM与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.
21、已知函数的最小值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若，求实数k的值.
22、已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
参考答案
1、答案：A
解析：由得，所以或，
故选：A
2、答案：B
解析：由得，
所以，
故选：B
3、答案：A
解析：由题意，由，得，
解得，选项A正确.
故选：A
4、答案：B
解析：球的体积为，表面积为，
依题意有，即，解得.
故选：B
5、答案：D
解析：根据正态分布可知，
所以,
故选：D
6、答案：C
解析：可将这4名志愿者先分成3组，每组至少1个志愿者，共有种分法，
再将这3组志愿者分配给三个项目，每个项目分配1组志愿者，共有种分配法，
故不同的分配方案有种.
故选：C
7、答案：C
解析：因为数列的前n项和（c为常数），
所以当时，，
当时，，
若数列为等比数列，则，解得，
当时，，满足，此时数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以“为等比数列”是“”的充要条件，
故选：C
8、答案：A
解析：由得，.
因为，，，故.
由，则，抛物线C经过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，同理得到抛物线C经过点B的切线方程是.
解方程组得，所以.
所以到直线的距离，
的面积，
所以
,
故选：A
9、答案：AB
解析：若是等差数列，
由，得，故选项A正确；
若，，则，
由等比数列的定义可知为等比数列，故选项B正确；
若，则为首项为4，公差为3的等差数列，是递增数列，
故选项C错误；
若是等比数列，且公比，但首项时，，
故选项D错误.
故选：AB
10、答案：AC
解析：对于A,将，代入得，故A正确，
对于B, ,则，故B错误，
对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确，
对于D，,故D错误，
故选：AC
11、答案：ACD
解析：选项A，易知，故选项A正确；
选项B，因为，故选项B错误；
选项C，因为，所以，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，
故选项D正确.
故选：ACD.
12、答案：BD
解析：记,则，所以在单调递增，
故，
记，则，
令，解得，故在上单调递减，
故,即，即，
故，
记，
则，
故当时，，故在上是增函数，
故，即，故，
故，
故选：BD
13、答案：32
解析：令可得的展开式中，各项系数之和为，解得，
所以二项式的展开式中，二项式系数之和.
故答案为：32
14、答案：
解析：由，得圆心，半径，
圆心C到直线的距离，
所以圆C上的点到直线l的距离最小值为.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为，所以，
设①
②，
①的平方与②的平方相加可得：
，
解得，因为，
所以，即，
故答案为：
16、答案：
解析：设，则，
①当时，显然恒成立，无零点；
②当时，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，无零点；
③当时，，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，当且仅当时取等号，有唯一零点；
④当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
由③可知，即恒成立，可得，即恒成立，
所以，
又因为，，
所以分别在，上存在唯一零点，此时共有两个零点；
综上所述，当时，无零点；
当时，有唯一零点为1；
当时，有两个零点.
令，得，
即，令，则，
因为有且只有1个零点，由上分析可知，
只有且方程只有一个实根满足题意，即有唯一实根，
令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以恒成立，当且仅当时，
所以只有时满足题意.
故答案为：
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）由，得，
又由，得，
所以或，因为，
所以，所以.
（2）因为，，成等差数列，
所以，
由正弦定理可得：
①
由余弦定理可得：
②
由①②可得，
所以
所以.
所以的周长为.
18、答案：(1)答案见解析
(2)小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
解析：（1）成2×2列联表如下
性别 满意度 合计
满意 不满意
男性 120 20 140
女性 40 20 60
合计 160 40 200
（2）零假设：性别与满意度无关联
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
19、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）依题意得：，
解得.
所以椭圆E的标准方程为.
（2）因为直线l过原点，设，，.
所以，，
所以
又因为，，
所以
所以是定值.
20、答案：(1)证明见解析
(2)存在，点M为的中点
解析：（1）因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以点M在，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，
所以，
所以，
以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，，，
，
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，所以平面的一个法向量为.
又因为直线DM与平面所成角的正弦值为，
所以
所以，解得或，
因为点M在长方体内，所以，所以，
所以，存在点M为的中点，使得直线DM与平面所成角的正弦值为.
21、答案：(1)1
(2)0
解析：（1）函数的定义域为R，且，
当时，，则函数在R上单调递增，不存在最小值.
当时，令，则，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
设，
则，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
令，则，
所以，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，
所以，即，
由（1）知，，且当时等号成立，
所以，当时等号成立，
所以，此时.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）当时，；
当时，
所以，
又，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）可知，
设的前项和为，
则，
，
两式相减得，
，
，
两式相减得，
，
，
又因为的前n项和是，
所以.