湖南省多校联考2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

湖南省多校联考2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知，复数是实数，则( )
A. B. C.6 D.-6
3、函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
4、某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为( )
A.100 B.120 C.200 D.240
5、设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、若，，，则( )
A. B. C. D.
7、已知正三棱柱的顶点都在球O的球面上，若正三棱柱的侧面积为6，底面积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8、弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有( )
A.32种 B.48种 C.56种 D.68种
二、多项选择题
9、已知直线与圆相交于E，F两点，则( )
A.圆心C到直线l的距离为1 B.圆心C到直线l的距离为2
C. D.
10、已知函数，下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的极值点为
C.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若，则
11、已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，P为C上一点，下列说法正确的是( )
A.C的离心率为
B.的最小值为
C.若A，B为C的左、右顶点，P与A，B不重合，则直线PA，PB的斜率之积为
D.设C的左焦点为，若的面积为，则
12、已知函数，若，，则实数a的取值可能为( )
A.2 B. C. D.1
三、填空题
13、已知向量，，若，则________．
14、已知，则__________
15、如图，某圆柱与圆锥共底等高，圆柱侧面的展开图恰好为正方形，则圆柱母线与圆锥母线所成角的正切值为________．
16、已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为________．
四、解答题
17、在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前n项和．
18、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若，，，求的面积；
（2）若，证明：．
19、某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞选．
（1）设所选4人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望；
（2）若选出的4名副主任分配到，，，这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一个科室，求科室任职的是女性的情况下，科室任职的是男性的概率．
20、如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为等边三角形．
（1）若，证明：．
（2）在（1）条件下，若，，求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值．
21、已知是椭圆的左顶点，过点的直线l与椭圆C交于P,O两点（异于点A），当直线l的斜率不存在时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的取值范围．
22、已知函数，且，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由．
参考答案
1、答案：B
解析：，解得；，解得，
所以集合，，
所以．
故选：B
2、答案：C
解析：因为为实数，
所以，解得．
故选：C
3、答案：A
解析：定义域为R，
因为，
所以奇函数，排除C，D．
当时，，则，，所以，排除B．
故选：A．
4、答案：B
解析：设招聘x名硕士生，由题意可知，，
解得，
所以本科生教师共分得树苗棵．
故选：B
5、答案：B
解析：若，，则，而，
所以“”推不出“”；
若，又，则，
所以，即“”可以推出“”．
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6、答案：C
解析：因为，，，所以．
故选：C.
7、答案：A
解析：由正三棱柱是直三棱柱，设其高为h，，
因为正三棱柱的侧面积为6,底面积为，
可得，且，解得，
设的外接圆半径为r，则，解得，
设球O的半径为R，则，
所以球O的表面积为．
故选：A.
8、答案：D
解析：①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，则共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，
在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，
共有种安排方式；
③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，
先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，
最后将剩下的3种书全排列即可，
共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
故选：D
9、答案：BD
解析：因为圆心到直线l的距离，所以A错误，B正确．
因为，所以C错误，D正确．
故选：BD
10、答案：BC
解析：的最小正周期为，所以A错误；
由，得，
由三角函数的性质可验证的极值点为，所以B正确；
将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以C正确；
若，则，
所以，
则或，
则或，所以D错误．
故选：BC.
11、答案：ACD
解析：由已知可得，，所以，
则C的方程为，离心率为，A正确；
因为的最小值为，所以B错误；
设，则，，
，所以C正确；
设，由
可得，得，
则，所以D正确．
故选：ACD
12、答案：BCD
解析：因为，
所以，
设，则有，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，所以，
所以原问题转化为当，恒成立，
由，设，
，因为，所以，
当时，，函数单调递增，
所以有，显然，恒成立；
当时，当时，函数单调递增，当时，单调递减，因此有，所以，不恒成立，
综上所述：，故选项BCD符合题意，
故选：BCD
13、答案：
解析：因为，所以，解得．
故答案为：.
14、答案：
解析：
.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为圆柱母线与圆锥旋转轴平行，所以圆柱母线与圆锥母线所成角的大小等于．
因为圆柱侧面的展开图恰好为正方形，所以，所以．
故答案为：.
16、答案：20
解析：由题意知，抛物线C的准线方程为．
设AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线的垂线，
垂足分别为C，D，N，
因为M到x轴的距离为6，所以．
由抛物线的定义知，，
所以．
因为，所以．
所以当，即直线l过焦点F时，取最大值为20.
故答案为：20
17、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）设的公比为q，，因为是和的等差中项，
所以，则，
化简得，解得或，
当时，，
当时，．
（2）因为，所以，，
，①
则，②
则①-②得．
故．
18、答案：（1）9
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，即，
因为，
所以解得．
所以的面积．
（2）证明：因为，，
所以，化简得，
所以，
即，
所以，
所以．
因为，，
所以或（舍去），
所以．
19、答案：（1）分布列见解析，
（2）
解析：（1）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（2）设“A科室任职的是女性”，“B科室任职的是男性”，
则，，
所以．
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OC．
因为为等边三角形，所以．
又，，PO,平面POC，
所以平面PCO，因为平面POC，
所以，即OC是线段AD的中垂线，
所以．
（2）由（1）知，又，所以，且平面PCO．
以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，．
在中，，，由余弦定理易得为，
所以点的坐标为，
所以，，．
设是平面PAB的法向量，可得令，得．
设是平面PAD的法向量，可得令，得．
设平面PAB与平面PAD所成的二面角为，
则．
21、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）依题意，，当直线l的斜率不存在时，由，得直线l过点，于是，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）依题意，直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，,
由消去x整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
22、答案：（1）答案见解析
（2），理由见解析
解析：（1）由，得，又，所以，
则，所以，．
当时，令，得或；令，得；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得；令，得或；
所以在与上单调递减，在上单调递增．
（2），理由如下：
因为，
由，得，解得或．
因为，所以，，是的正根，则，
又，所以，，
两式相减得．
令，，则，得，则．
令，则，
所以，，可得，
．
设，则，
再设，则，
所以在上为增函数，则，
即，则在上为增函数，
从而，
所以，即，
所以，即．