3.1.1 一元一次方程 课件（28张PPT）

第3章 一元一次方程
3.1.1 一元一次方程
第三单元
1.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.
2.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
(1)上述问题中涉及到了哪些量？
客车70km/h，卡车60km/h
客车比卡车早1h到达B地
AB之间的路程
速度：
时间：
路程：
客车每小时比卡车多走10km
相同的时间，客车比卡车多走60km
A
B
客车
卡车
1h
60km
客车走了6h
算式：60÷(70-60)×70=420(km)
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
(2)如果设A，B两地相距xkm，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？
客车从A地到B地的行驶时间：
卡车从A地到B地的行驶时间：
即：
因为客车比卡车早1h经过B地，所以 比 小1,
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
解：设客车从A地到B地的时间为xh，则卡车从A到B的所用时间为(x+1)h.
由A到B的路程为定值可列方程：
70x=60(x+1)
【点睛】列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式--方程.
比较：列算式和列方程
从算式到方程是数学的进步！
列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.
方程的概念
基础
例1.下列式子中,是方程的有( )
①7-1=6； ②3x+y=10； ③x-1； ④1????-1????=1； ⑤x＞3；
⑥x=1； ⑦a2-1=0； ⑧b2≠-1.
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
?
方程一定是等式，但等式不一定是方程
A
1.下列各式中，是方程的是( )
A.4-5=-1 B.x+3y-1 C.s+2t=-5 D.a-6＜3
2.下列各式中，不是方程的是___________.(填序号)
①3x+1=4； ②4-3=1； ③3x+1； ④x＞0；
⑤x2+2x+1=0； ⑥????-1=0； ⑦1????=a+1.
?
C
②③④
下列方程有什么共同特点？
一元一次方程：
上面各方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
一元一次方程的概念
重点
例2.下列方程中，是一元一次方程的是_______.
①12x+y=1； ②????2=3； ③x2-2x-1=0； ④2????+1=3； ⑤2x2+5-2(x2+x)=3.
?
②⑤
1.下列不是一元一次方程的是( )
A.5x+3=3x+7 B.2x+1=3 C.????3+7????=7 D.x=4
2.下列方程:①23x=x+5；②x+2y=1；③x-1????=2；④0.2x=1；⑤x2-3x=18.其中一元一次方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
?
C
B
3.如果方程(m-1)x+3=0是关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是________.
4.若方程2xm+1=0是关于x的一元一次方程，则m的值为______.
m≠1
1
根据一元一次方程的概念求字母或式子的值
易错点
例3.若(3-m)x|m|-2-8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A.-3 B.3 C.±3 D.1
表示x是未知数，m是已知数
A
解析:因为(3-m)x|m|-2-8=0是关于x的一元一次方程，
所以|m|-2=1，且3-m≠0.
由|m|-2=1，得m=3或m=-3.
因为3-m≠0，所以m=3不合题意.
所以m=-3.
例3.若(3-m)x|m|-2-8=0是关于x的一元一次方程，则m的值为( )
A.-3 B.3 C.±3 D.1
A
根据一元一次方程的概念求字母或式子的值
易错点
1.若(m+2)????????2?3-3m=2是关于y的一元一次方程，则m的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.4
2.若方程(m2-1)x2-mx-x+2=0是关于x的一元一次方程，则|m-1|的值为( )
A.0 B.2 C.0或2 D.-2
3.已知(m-2)x|m-1|-6=0是关于x的一元一次方程，则m的值是______.
4.若(2-k)x|k|-1-3=0是关于x的一元一-次方程，则k2-2k+1的值为_____.
?
A
A
0
9
怎样将一个实际问题转化为方程问题？
设未知数 列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.?
列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数. ?
可以发现，当x=6时，4x的值是24，
同样地，当x=5时，1700+150x的值是2450，这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等.
这时方程4x=24等号左右两边相等.
x=6叫做方程4x=24的解.这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6.
x=5叫做方程1700+150x=2450的解.这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5. ?
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解？
解：当x=1000时，方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40，右边=80，左边≠右边，
所以x=1000不是此方程的解.
当x=2000时，方程左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80，
右边=80，左边=右边，
所以x=2000是此方程的解.
【点睛】判断一个数值是不是方程的解的步骤：1.将数值代入方程左边进行计算；2.将数值代入方程右边进行计算；3.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
方程的解与解方程
重点
例4.检验下列各数是否为方程6x+1=4x-3的解:
(1)x=-1；(2)x=-2.
解:(1)当x=-1时，左边=6×(-1)+1=-5，右边=4×(-1)-3=-7，
因为左边≠右边，
所以x=-1不是方程6x+1 =4x-3的解.
(2)当x=-2时，左边=6×(-2)+1=-11，右边=4×(-2)-3=-11，
因为左边=右边，
所以x=-2是方程6x+1=4x-3的解.
1.下列方程的解是x=2的是( )
A.3x+6=0 B.12x=4 C.32x-3=0 D.1-2x=5
2.在x=3，x=5，x=10中，________是方程x-????+42=3的解.
3.若x=3是方程x-a=7的解，则a=______.
?
C
x=10
-4
4.检验下列各数是否为方程2x-3=5(x-3)的解:
(1)x=4；(2)x=6.
解:(1)当x=4时，左边=2×4-3=5，右边=5×(4-3)=5，
左边=右边，
所以x=4是方程2x-3=5(x-3)的解.
(2)当x=6时，左边=2×6-3=9，右边=5×(6-3)=15，
左边≠右边，
所以x=6不是方程2x-3=5(x-3)的解.
根据方程的解的概念求字母或式子的值
难点
例5.已知x=-2是方程5x+12=12????-a的解，则a2-a-6的值为( )
A.0 B.6 C.-6 D.-18
?
B
解析:把x=-2代入方程5x+12=12-a，得5×(-2)+12=?22-a，即2=-1-a，所以a=-3.所以a2-a-6=(-3)2-(-3)-6=6.
?
1.若x=1是关于x的方程ax+b=c的解，则(a+b-c)2=______.
2.方程-5x+▲=4x，“▲”处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=-1，那么“▲”处的常数是______.
3.若x=1是关于x的方程-2mx+n=1的解，求2025+n-2m的值.
解:将x=1代入方程-2mx+n=1，得-2m+n=1，即n-2m=1，
所以2025+n-2m=2025+1=2026.
0
-9
列一元一次方程
难点
例6.【建模思想】根据下列问题，设未知数，列出方程:
(1)用一根长为52cm的铁丝围成一个正方形，求正方形的边长；
(2)某数的一半比这个数小8，求这个数；
(3)20名同学在植树节这天共种了52棵树苗，男生每人种3棵，女生每人种2棵，求男生的人数.
关键词
解:(1)设正方形的边长为xcm，则可列方程4x=52.
(2)设这个数为x，则可列方程12x=x-8.
(3)设男生有x人，则可列方程3x+2(20-x)=52.
?
例6.【建模思想】根据下列问题，设未知数，列出方程:
(1)用一根长为52cm的铁丝围成一个正方形，求正方形的边长；
(2)某数的一半比这个数小8，求这个数；
(3)20名同学在植树节这天共种了52棵树苗，男生每人种3棵，女生每人种2棵，求男生的人数.
例7.根据实际问题列出方程：已知甲粮仓有粮食729t，乙粮仓有粮食384t.为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓粮食储量的2倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓?
解:设需要从乙粮仓运送xt粮食到甲粮仓，那么运完后乙粮仓粮食储量为(384-x)t，甲粮仓粮食储量为(729+x)t.
根据题意列方程，得
729+x=2(384-x).
列一元一次方程
难点
1.“某数与2的和的3倍是9”，若设该数是x，则所列方程是( )
A.x+2×3=9 B.3(x+2)=9 C.3x+2=9 D.2x+3=9
2.用一根长为48cm的铁丝围成一个长方形，其中长方形的长为15cm，求长方形的宽.设宽为xcm，则可列方程_________________.
3.某校男生占全体学生数的48%，比女生少80人，这个学校的学生总数是多少?设这个学校的学生总数为x，则可列方程为( )
A.0.48x-(1-0.48)x=80 B.(1-0.48)x-0.48x=80
C.0.48x-(1+0.48)x=80 D.(1+0.48)x-0.48x=80
B
2(15+x)=48
B
4.根据下列问题，设未知数，列出方程:
(1)甲书每本5元，乙书每本4元，元元用70元买了两种图书共15本，求他买的甲书的本数.
(2)小明和小刚从相距16.2km的两地同时相向而行，小明行走的速度为4km/h，2h后两人相遇，求小刚行走的速度.
解:(1)设他买的甲书的本数是x，则可列方程为5x+4(15-x)=70.
(2)设小刚行走的速度为xkm/h，则可列方程为2(x+4)=16.2.
1. 一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 方程的解：
使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.