2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的的值为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为分现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是( )
A. 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B. 甲、乙两组评分的中位数不相同
C. 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D. 甲组评分的众数小于乙组评分的众数
7. 如图，在正方体中，已知，，，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是( )
A. ，，，四点共面
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 直线和所成角的正切值为
8. 函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
9. 已知直线：和圆：，则“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具据清代陆以湉冷庐杂识说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之”如图是一个用七巧板拼成的三角形其中为两块全等的小型等腰直角三角形；为一块中型等腰直角三角形；为两块全等的大型等腰直角三角形；为一块正方形；为一块平行四边形现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
11. 记函数的导函数为若为奇函数，且当时恒有成立，则( )
A. B.
C. D.
12. 如图，已知四边形所有边长均为，对角线现以为折痕将四边形折起为四面体，使得，如图则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数为虚数单位，则______．
14. 第届世界大学生夏季运动会将于年月日月日在成都举行，比赛项目包括个必选项目和武术、赛艇、射击个自选项目，共个大项，个小项小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是______ 填写具体项目名称．
15. 已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为______ ．
16. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记函数的导函数为，已知，．
求实数的值；
求在的值域．
18. 本小题分
某种产品的价格单位：万元吨与需求量单位：吨之间的对应数据如表所示．
已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
请预测当该产品定价为万元时需求量能否超过吨？并说明理由．
参考公式：，．
19. 本小题分
如图，在直三棱柱中，已知，，，，分别为棱，上的动点，为中点，且．
Ⅰ求三棱锥体积的最大值；
Ⅱ当三棱锥的体积最大时，求证：平面．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到其左、右焦点的距离之和为．
求椭圆的方程；
设过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的最小值及此时的值．
21. 本小题分
已知函数，其中．
当时，求函数的单调区间；
当时，若恒成立，求整数的最大值．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设曲线与曲线相交于，两点．
求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
已知点，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，解得，
所以，
因为，所以．
故选：．
先求出集合，再求两集合的交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是“，”．
故选：．
直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可．
本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后再否定结论．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
求出双曲线的，，由双曲线的渐近线方程为，即可得到．
【解答】
解：双曲线的，，
由双曲线的渐近线方程为，
则所求渐近线方程为
故选：．

4.【答案】
【解析】解：若，则，此时不满足，不符合要求，故舍去，
若，此时不满足，符合要求，故．
故选：．
根据程序框图，分类讨论求解．
本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意作可行域如图，
作直线：，由图可知，平移直线到位置，即过点时，取得最大值．
解方程组得，
代入．
故选：．
先作可行域，再作直线：，平移直线确定最优解，然后可得．
本题主要考查简单线性规划，考查转化能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：甲的数据为，，，，，，，，，，乙组数据为，，，，，，，，，．
选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，
甲的平均数小，选项正确；
选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，选项错误；
选项，甲的极差为，乙的极差为，甲的极差更小，选项错误；
选项，甲的众数为，乙的众数为，甲的众数更大，选项错误．
故选：．
根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数．
本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：取中点，连接，，
由于是的中点，在正方体中可知，
又，，所以四边形为平行四边形，故B，
因此，故C，，，四点共面，故A正确，
取中点，连接，，
由于，，均为中点，所以，，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，，，平面，
所以平面平面，平面，故直线平面，B正确，
假设平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误，
由于，，，所以，
故为直线和所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为，则，
由于底面，平面，所以，
故，
直线和所成角的正切值为，D正确．
故选：．
根据线线平行即可判断，根据面面平行得线面平行即可判断，根据面面平行的性质即可得矛盾判断，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解．
本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以在上的最小值为，
因为，
，
所以在和上各有一个零点，
当时，，则，
所以在上递增，
因为，，
所以在上有一个零点，
综上，共有个零点．
故选：．
先对函数化简得，然后分和两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可．
此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：圆：的方程可化为，
其圆心坐标为，半径为，
当时，直线：，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，
所以“”是“直线与圆相切”的充要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图，
为等腰直角三角形，连接，，
由题可知，，，，， 分别为，，，，的中点，
设，则，，，，
则，
阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为．
故选：．
数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质，进行边长运算即可得出结论．
本题主要考查几何概型的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：令，
所以，
因为在上，恒有成立，
所以任意，恒成立，
所以在上单调递增，
因为为奇函数，
所以，
所以，
所以为偶函数，
所以在上单调递减
对于：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故A错误；
对于：因为为偶函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故B正确；
对于：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故C错误；
对于：由知，
所以，
所以，故D错误；
故选：．
令，求导的单调性，由奇偶性的定义，逐项分析，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，由余弦定理可得，
所以，故四边形为的菱形，
取中点为，连接，，
由于三角形为等边三角形，所以，
又，，，平面，
所以平面，平面，所以，
由于为中点，所以，故三角形为边长为的等边三角形，
故A，故四面体为棱长为的正四面体，
不妨将其放入正方体中，则正方体的棱长为，其正方体的外接球即为四面体的外接球，
则正方体的体对角线长为其外接球的一条直径，故，
故外接球的表面积为．
故选：．
根据边长可判断为四边形为菱形，进而根据线线垂直得线面垂直，可证得四面体为棱长为的正四面体，将其放入正方体中，借助正方体的外接球即可求解．
本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
利用复数模的计算公式即可求得复数的模．
本题考查复数求模，属于基础题．
14.【答案】武术
【解析】解：由题意，如图下表所示：
武术 赛艇 射击
小张 会 不会
小王 会 不会 会
小李 会 不会
若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术．
故答案为：武术．
根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解．
本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，
要求三角形周长的最小值，就是求解取得最小值，即求取得最小值．
当，，三点共线时最小，点，的最小值为．
，
则周长的最小值为：．
故答案为：．
设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当，，三点共线时最小，答案可得．
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
则在点处的切线方程为：，即；
在点处的切线方程为：，即，
因为一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，
所以，则 ，解得，
所以．
故答案为：．
分别求得函数和在点和点处的切线方程，再由切线相同求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：由函数，可得，
因为，可得，解得；
由得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在，单调递增；在单调递减，
又由，，，，，，，
所以，，
所以函数在的值域为．
【解析】求得，根据，列出方程，即可求解；
由得，求得的单调区间和最值，即可求得函数的值域．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，；
因为，
，
所以，，
所以关于的线性回归方程为；
当时，；
所以当该产品定价为万元时需求量不超过吨．
【解析】根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出的值，即可得到线性回归方程；
根据所求的线性回归方程，把代入线性回归方程，即可解．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19.【答案】Ⅰ解：设，，则，
所以三棱锥的体积为，
当时三棱锥的体积取得最大值为；
Ⅱ证明：当三棱锥的体积最大时，，
分别以、和为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，，，
计算，，所以，，
即，，且，平面，平面，
所以平面．
【解析】Ⅰ设，，由此写出三棱锥的体积，利用函数的性质求出体积的最大值；
Ⅱ求出三棱锥的体积最大时，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量证明，，即可证明平面．
本题考查了三棱锥体积计算问题，也考查了线面垂直的证明问题，是中档题．
20.【答案】解：椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其左、右焦点距离之和为，
且，解得，，
，，
椭圆的标准方程为．
由题意知，直线的斜率为时显然不成立，
设直线的方程为，，，
由消去，得，
，则，，
，，
为的中点，，
，，，
又点在椭圆上，则，解得，
，
，
四边形的面积，
，
当且仅当时取等号，
当时，四边形面积最小值为．
【解析】利用椭圆离心率公式与定义求得，，，从而得解；
联立直线与椭圆方程得到，，从而求得关于的表达式，再利用得到，从而得解．
本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
21.【答案】解：当时，函数的定义域为，
．
由解得；由解得．
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由题意当时，，即．
整理得．
令函数．
则．
令则．
当时，恒成立．
在单调递增．
又，，，
，使得，即．
时，；时，．
在单调递减，在单调递增，
则．
由恒成立，则．
整数的最大值为．
【解析】求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；
分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：由曲线的参数方程消去参数，得曲线的的普通方程为．
，，
化简得曲线的直角坐标方程为．
由题意得曲线的参数方程为为参数．
将其代入，得．
．
设，两点对应的参数分别为，．
则，．
则，为一正一负，
．
【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
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