2022-2023学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2. 书架上有本不同的数学书，本不同的物理书，图书管理员从中任取本，则不同的取法种数为( )
A. B. C. D.
3. 口袋中有个黑球，个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同任取两球，用随机变量表示取到的黑球数，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 某中学通过问卷调查的形式统计了该校名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间单位：小时近似地服从正态分布则这名学生中每天完成作业所需的时间不少于小时的人数大约为( )
附：随机变量服从正态分布，则，．
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
6. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )
A. 的值为
B. 回归直线必过点
C. 样本点处的残差为
D. 将此图表中的点去掉后，样本相关系数不变
7. 已知三棱柱的侧棱长为，底面是边长为的正三角形，，若和相交于点则( )
A. B. C. D.
8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有某市去年的人均年收入为万元，记“从该市任意选取名市民，则恰有名市民去年的年收入超过万元”为事件，其概率为则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 随机变量服从以下概率分布：
若，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的有( )
A. 含的项的系数为 B. 二项式系数和为
C. 常数项为 D. 只有第项的二项式系数最大
11. 下列说法正确的有( )
A. 若随机变量分布，则方差
B. 正态密度曲线在曲线下方和轴上方范围内的区域面积为
C. 若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于
D. 若，，，则事件与相互独立
12. 如图，正方形的边长为，和都与平面垂直，，点在棱上，则下列说法正确的有( )
A. 四面体外接球的表面积为
B. 四面体外接球的球心到直线的距离为
C. 当点为的中点时，点到平面的距离为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算： ______ 用数字作答
14. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______ ．
15. 在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，，则直线与夹角的余弦值为______ ．
16. 一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为质点运动次后，所在位置对应的坐标为的概率为______ ，质点运动次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设．
求的值；
求的值．
18. 本小题分
某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各人进行调查统计，得到如下列联表：
关注 不关注 合计
男性
女性
合计
能否有的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
有位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为，且相互独立设这位市民参观新能源汽车展区的人数为，求的概率分布和数学期望．
附：
19. 本小题分
某校举行劳动技术比赛，该校高二班的班主任从本班的名男选手和名女选手中随机地选出男、女选手各名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
男选手甲必须参加，且第位出场；
男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
男选手甲和女选手乙至少有一人参加．
20. 本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为求的值；
在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个白球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率．
21. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点请从条件、、中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：
求二面角所成角的正弦值；
点是矩形包含边界内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
条件：平面的面积为；
条件：；条件：点到平面的距离为．
22. 本小题分
某软件科技公司近年的年利润与投入的年研发经费单位：千万元如下表所示．
根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，且相关系数，请用最小二乘法求出线性回归方程用分数表示；
某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，其中为单个零件的加工成本单位：元，且引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差若保持零件加工质量不变即误差的概率分布不变，则单个零件加工的成本下降了多少元？
附：参考数据：，．
参考公式：，，．
若随机变量服从正态分布，则，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量与垂直，
，
解得．
故选：．
由题意可知，再利用空间向量的数量积运算求解．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，图书管理员从本书中任取本，是组合问题，
有种取法．
故选：．
根据题意，分析可得该问题为组合问题，由组合数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意排列数、组合数公式的不同，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，．
故选：．
根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果．
本题考查了超几何分布的概率计算公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为学生每天完成作业所需的时间单位：小时近似地服从正态分布，
所以，，
因为，则，
所以这名学生中每天完成作业所需的时间不少于小时的人数大约为：人．
故选：．
求出，，利用正态分布的对称性和原则，计算可得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
故项的系数为．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，得，
解得，故A正确；
回归直线必过，故B正确；
取，得，则样本点处的残差为，故C错误；
将此图表中的点去掉后，样本相关系数不变，故D正确．
故选：．
由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，求出的值判断；求出时的预测值判断；由相关系数公式判断．
本题考查线性回归方程，考查相关系数与残差的概念，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意可得：
，
又是的中点，
所以
，
所以
．
故选：．
选取，，作为一组基底，将用基底表示，利用数量积进行运算即可求得．
本题考查空间向量数量积运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取名市民，年收入超过万元的人数为，
设从该市任选名市民，年收入超过万元的概率为，
则根据马尔可夫不等式可得，
，
因为，
所以，
令，则，
，，，即，
在上单调递增，
，即．
故选：．
记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取名市民，年收入超过万元的人数为，设从该市任选名市民，年收入超过万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值．
本题考查了二项分布和导数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，解得，故A正确，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据离散型随机变量的分布列的性质和期望公式列方程求解即可求得，；根据期望的性质可判断；根据方差公式可判断．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查离散型随机变量的期望和方差，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于二项式的展开式，它的通项公式为，
令，求得，可得含的项的系数为，故A正确．
令，求得，可得常数项为，故C正确．
它的二项式系数和为，故B正确．
由于它的二项式系数为，故当或时，即第三项或第四项的的二项式系数最大，故D错误．
故选：．
由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为随机变量 分布，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以A正确；
对于，因为正态密度曲线在曲线下方和轴上方范围内的区域面积就是概率，全区域概率为，所以面积为，故B正确；
对于，当两个变量为负相关时，相关性越强，其相关系数越接近于，故C错误；
对于，，，，，则事件与相互独立，故D正确．
故选：．
对于，根据两点分布的方差公式，再利用基本不等式即可；
对于，由正态密度曲线在曲线下方和轴上方范围内的区域面积为概率，即可判定；
对于，当两个变量为负相关时，相关性越强，相关系数越接近于可判定错误；
对于根据相互独立事件的定义，结合概率计算，即可判定正确．
本题考查正态分布，考查相互独立事件的定义，考查相关系数的定义，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为与平面垂直，，平面，
所以，，
因为四边形为正方形，所以，
以点为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
设四面体外接球的球心的坐标为，
则，，，
所以，
化简可得
所以，
所以球心的坐标为，
所以球的半径，
所以四面体外接球的表面积正确；
直线的方向向量，又，
所以向量在向量上的投影向量的模的大小为，
所以点到直线的距离为，B错误；
设平面的法向量为，
则，又，
所以，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
若点为的中点，则点的坐标为，
所以，
所以点到平面的距离为，C正确：
设，则，
又，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，
设，，则，
所以，
由基本不等式可得当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当点为棱的靠近点的三分点时，
直线与平面所成角的正弦值的最大，最大值为正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，列方程确定四面体外接球球心的坐标和半径，再求球的表面积判断；利用向量方法求球心到直线的距离判断；求平面的法向量，利用向量方法求点到平面的距离判断；求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值的最大值判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
直接利用组合数的性质及组合数公式求解．
本题考查组合数公式与组合数性质的应用，是基础题．
14.【答案】答案不唯一，在内均可
【解析】解：因为，是一个随机试验中的两个事件，且，，
当事件，为互斥事件时，，
当事件包含事件时，，
所以，所以，
所以的一个可能的值为答案不唯一，在内均可．
故答案为：答案不唯一，在内均可．
先求出的范围，然后利用条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：连结，在线段上取一点，，连结、，
，，，或其补角是直线与夹角，
在棱长为的正四面体中，，，
，，
在中，由余弦定理得：，
即，，
同理，，
在中，由余弦定理得：，
，
，
．
直线与夹角的余弦值是．
取靠近的三等分点，连结、，由已知得，或其补角是直线与夹角，解三角形可解．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16.【答案】
【解析】解：质点只能向上或向右运动，且，，
运动次，只需向上运动次，向右运动次即可到达，
故其概率为；
设运动次中，向上移动次，向右移动次，
移动后质点坐标为，其概率为：，
令其最大值在处取得，
故，
整理得：，
又，解得，
故质点最有可能运动到．
故答案为：；．
根据质点的运动规律及相应概率，可将坐标和运动方向与次数结合起来，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解，然后运用二项式定理中求系数最大项的方法可求出概率最大值．
本题考查相互独立事件的概率公式，二项式系数最大项的求法，属中档题．
17.【答案】解： 的通项公式为．
令分别等于、，可得，，故有，，
；
在所给的等式中，令，可得，
再令，可得，．
【解析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．
在所给的等式中，令，可得的值，再令，可得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
18.【答案】解：提出假设：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异，
由列联表中的数据可得：，
因为当成立时，，这里的，
所以我们有的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异．
由题意知的可能取值为：，，，，
，，其中，，，，
故的概率分布列为：
，
随机变量的数学期望为．
【解析】根据表中的数据利用公式求解，再根据临界值表进行判断即可；
由题意知的可能取值为：，，，，而，所以利用二项分布的概率公式求出各自对应的概率，从而可求得的概率分布和数学期望．
本题考查了独立性检验问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．
19.【答案】解：男选手甲必须参加，再选名男生有种，名女生选名，有，安排甲在第位出场，其余人全排列，
则有种不同的安排方法．
男选手甲和女选手乙都参加，再各选名男选手和女选手，先安排选出的男选手和女选手，然后将甲乙进行插空进行排列即可，
则有种不同的安排方法．
各选名选手参加比赛有，
男选手甲和女选手乙至少有一人参加的对立面都不参加，
若甲乙都不参加，则有，
则男选手甲和女选手乙至少有一人参加的有．
【解析】利用元素优先法进行求解即可．
利用不相邻问题插空法进行求解即可．
利用排除法进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法，不相邻问题插空法，以及排除法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
20.【答案】解：从甲袋中取出个红球，从乙袋中取出个红球的概率为，
从甲袋中取出个白球，从乙袋中取出个红球的概率为，
从甲袋中取出个红球和个白球，从乙袋中取出个红球的概率为，
则乙袋中取出的是两个红球的概率为，
整理得，解得或舍，故的值为．
记事件为“从甲袋中取出两个红球”，事件为“从乙袋中取出一个红球一个白球”，
，
，
，
所以在从乙袋中取出个红球和个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为．
【解析】根据从乙袋中取出的是两个红球的概率列方程，化简求得的值；
先求得“从乙袋中取出个红球和个白球”的概率、求得“从甲袋中取出个红球”且“从乙袋中取出个红球和个白球”的概率，根据条件概率计算公式求得正确答案．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
21.【答案】解：因为直三棱柱，
所以面，
又，面，
所以，，
又，
以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系：
设，，，
所以，，，，，，
选．
因为直三棱柱中，平面平面，平面平面，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以，
则又由得平面的面积为，
由得，
解得，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，得，，
所以，
设平面的一个法向量，
所以，
令，则，，
所以，
设二面角所成角的平面角为，
所以，，
因为，
所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
选．
因为直三棱柱中，平面平面，平面平面，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以，
则又由得平面的面积为，
由得，即，
解得，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设二面角所成角的平面角为，
所以，，
因为，
所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
选．
由得，
由得，即，
解得，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，得，，
所以，
设平面的一个法向量，
所以，
令，则，，
所以，
设二面角所成角的平面角为，
所以，，
因为，
所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
取中点，连接，，
因为平面，平面，
所以，
因为，，
所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，
设点，则，
因为，，
所以，
所以，
设与平面所成角为，
由及平面的一个法向量为，
知，，
因为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围为
【解析】根据题意可得，，，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，，分三种情况：选；选；选，求出二面角所成角的正弦值．
取中点，连接，，推出，则点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，设点，则，可得，设与平面所成角为，则，，，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系和二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由，得，
即，由，得负舍，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
所以，关于的线性回归方程为；
未引进新的工业软件前，，
所以，
又，即，所以，所以元，
引进新的工业软件后，，所以，
若保持零件加工质量不变，则，所以元，因为元，
所以单个零件加工的成本下降了元．
【解析】由可求出，然后求出，然后利用相关系数求出可求出，再由求出，从而可求出线性回归方程；
未引进新的工业软件前，由误差，得，再由可得，从而可求出，同理引进新的工业软件后，可求出其对应的，从而可进行判断．
本题考查了回归方程的应用计算，属于中档题．
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