11.1.2 三角形的高、中线与角平分线同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-02 09:58:37 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是一条射线 B．三角形的三条中线总在三角形内部
C．钝角三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的三条中线的交点可能在三角形外部
4．三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（ ）
A．角平分线、高 B．中线、高
C．角平分线、中线 D．以上都不对
5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A．2 B．4 C．1 D．无法确定
7．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
8．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．给出下列命题：①若，则是直角三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形，其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知为的高，若，则 ．
12．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
13．如图，在中，是边上的中线，，则 ．
14．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
15．如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为，，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是 ．（用，的代数式表示）
三、解答题
16．请把下面的证明过程补充完整．
已知：如图，是的高，点在上，在上，，．
求证：
证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（ ）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴ （ ）．
又∵（已知），
∴（ ）．
∴（ ）．
17．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)请画图找出的重心点；
(2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形．
18．如图所示，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上．
(1)直接写出 A、B、C 三点的坐标；
(2)将先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到
，画出；
(3)求面积．
19．如图，在中，A、B、C三点的坐标分别为，，，把向下平移4个单位，向左平移5个单位，得到．
(1)在图中画出，并写出点D的坐标．
(2)求出的面积．
20．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，每个小方格的边长为1，将三角形向上平移4格，再向左平移3格．
(1)请在图中画出平移后的三角形；
(2)画出三角形中边上的高；则三角形的面积_______；
(3)连接、，则线段与的关系为_______；四边形的面积_______．
21．画图填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中将经过一次平移后得到，图中标出来点A，点、点C和它的对应点．
(1)请画出平移前后的和；
(2)利用网格画出中边上的中线；
(3)利用网格画出中边上的高；
(4)的面积为 ．
22．已知、，且．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)点C为x轴负半轴上一点满足，
①如图1，平移直线经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点满足，求m．
(3)如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足，，当点A平移到某一位置时，四边形的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
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参考答案：
1．D
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
【详解】解：由图可得， ∵，
∴中边上的高是，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．
2．A
【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∵为的高线，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
3．B
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断A；根据三角形的中线的定义及性质判断B、D；根据三角形的高的定义及性质判断C即可．
【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、三角形的三条中线总在三角形内部，说法正确，故此选项符合题意；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误，故此选项不符合题意；
D、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，一个三角形有三条中线，这三条中线交于三角形内一点．
4．C
【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答．
【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；
三角形三条角平分线的交点在三角形内部；
三角形三条中线的交点在三角形内部；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部．
5．D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角形的中线可得，，，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
，
的面积等于，
，
即阴影部分图形面积等于，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
7．A
【分析】根据三角形重心的意义选择即可．
【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态，
∴这个点为三角形的重心，
由图可知点N为该三角形的重心．
故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键．
8．B
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质进行判断即可．
【详解】解：三角形的三条高所在直线交于一点，故①错误，三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，故②正确，直角三角形有三条高，故③错误，三角形三个内角的角平分线交于一点，故④正确，
正确的是②④，共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①由三角形内角和定理可知，若，则，解得，从而是直角三角形，即命题①是真命题；
②由三角形的平分线定义可知，三角形的角平分线是射线是假命题；
③由直角三角形三条高交于直角顶点上，从而三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外说法错误，是假命题；
④直角三角形的两条高分别是两条直角边，也只有一条高在三角形内部，从而如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形说法错误，是假命题；
综上所述，只有①说法正确，是真命题，
故选：A．
【点睛】本题考查命题真假，涉及直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征等知识，熟记相关性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可．
【详解】解：∵的面积为4，
∴边上的高为，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到的距离为2是解题的关键．
11．6或14
【分析】分点在线段上和在延长线上，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①当点在线段上时，
∵，
∴；
②当点在延长线上时，
则：；
综上：6或14；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查线段的和差计算．根据题意，正确的画出图形，是解题的关键．注意，分类讨论．
12．钝角
【分析】根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解题的关键．
13．
【分析】根据三角形中线的定义可得结论．
【详解】解：在中，是边上的中线，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中线：连接三角形顶点和它的对边中点的线段．掌握三角形中线的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题可知，点O是的重心，
∴，
如图所示，过点B作交AD的延长线与点G，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．
15．
【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积．
【详解】解：
=4ab．
故答案为：4ab．
【点睛】本题考查运用割补法求阴影部分面积，解题关键是运用大长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
16．垂直的定义；；同角的余角相等；等量代换：内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义得到，可得，利用同角的余角相等得到，等量代换可知，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（垂直的定义）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，余角的性质，三角形高的定义，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
17．(1)见解析
(2)见解析；
【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解；
（2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，
依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意，
即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
18．(1)，，；
(2)见详解；
(3)5.5.
【分析】（1）根据坐标系写出A、B、C 三点的坐标即可；
（2）将A、B、C三个点分别向下平移2个单位，再向右平移4个单位长度，得到点，再顺次连接即可得到；
（3）利用割补法进行计算即可.
【详解】（1），，
（2）如图所示，即为所求.
（3）
∴ 面积的面积为5.5.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定、平移变换、以及利用网格求三角形面积，正确的作出平移后的点是解题的关键.
19．(1)图见解析，D的坐标为；
(2)．
【分析】（1）根据平移的性质确定出点D、E、F的位置，然后连线，根据图形写出D的坐标即可；
（2）用割补法求解即可．
【详解】（1）解：，如图所示：
D的坐标为；
（2）解：．
【点睛】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系点的坐标，割补法求图形的面积，正确作出图形是解答本题的关键．
20．(1)见解析；
(2)见解析；6；
(3)平行且相等；16．
【分析】（1）根据平移的性质得到对应点，依次连接即可得到三角形；
（2）过点C向的延长线作垂线，垂足为D，即可得到高，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据平移的性质和平行四边形面积公式求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：如图，高即为所求；
三角形的面积，
故答案为：6；
（3）解：由平移的性质可知，线段与的关系为平行且相等；
四边形的面积，
故答案为：平行且相等；16．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，解题关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)6
【分析】（1）根据题意画出和即可；
（2）作出中边上的中线即可；
（3）过点向的延长线作垂线，垂足为即可；
（4）直接利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，和即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3）如图，线段即为所求；
（4）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
22．(1)；
(2)①；②或6
(3)24
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；
②延长交直线l于点，过点H作轴于点M，根据三角形面积公式解答即可；
（3）平移到，连接，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，
解得：，，
∴；．
（2）解：①连接，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴点F在过点且平行于x轴的直线l上，
延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，如图2，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或，
∴或6；
（3）解：平移到，连接，则，，如图3，
四边形的面积的面积，
当时，的面积最大，
其最大值．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
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人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是一条射线 B．三角形的三条中线总在三角形内部
C．钝角三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的三条中线的交点可能在三角形外部
4．三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（ ）
A．角平分线、高 B．中线、高
C．角平分线、中线 D．以上都不对
5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ）
A．2 B．4 C．1 D．无法确定
7．有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
8．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．给出下列命题：①若，则是直角三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形，其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知为的高，若，则 ．
12．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
13．如图，在中，是边上的中线，，则 ．
14．如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
15．如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成，已知小长方形的长，宽分别为，，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是 ．（用，的代数式表示）
三、解答题
16．请把下面的证明过程补充完整．
已知：如图，是的高，点在上，在上，，．
求证：
证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（ ）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴ （ ）．
又∵（已知），
∴（ ）．
∴（ ）．
17．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)请画图找出的重心点；
(2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形．
18．如图所示，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，原点O及的顶点都在格点上．
(1)直接写出 A、B、C 三点的坐标；
(2)将先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到
，画出；
(3)求面积．
19．如图，在中，A、B、C三点的坐标分别为，，，把向下平移4个单位，向左平移5个单位，得到．
(1)在图中画出，并写出点D的坐标．
(2)求出的面积．
20．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，每个小方格的边长为1，将三角形向上平移4格，再向左平移3格．
(1)请在图中画出平移后的三角形；
(2)画出三角形中边上的高；则三角形的面积_______；
(3)连接、，则线段与的关系为_______；四边形的面积_______．
21．画图填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中将经过一次平移后得到，图中标出来点A，点、点C和它的对应点．
(1)请画出平移前后的和；
(2)利用网格画出中边上的中线；
(3)利用网格画出中边上的高；
(4)的面积为 ．
22．已知、，且．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)点C为x轴负半轴上一点满足，
①如图1，平移直线经过点C，交y轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点满足，求m．
(3)如图3，D为x轴上B点右侧的点，把点A沿y轴负半轴方向平移，过点A作x轴的平行线l，在直线l上取两点G、H（点H在点G右侧），满足，，当点A平移到某一位置时，四边形的面积有最大值，直接写出面积的最大值．
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参考答案：
1．D
【分析】根据三角形高的概念求解即可．
【详解】解：由图可得， ∵，
∴中边上的高是，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．
2．A
【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∵为的高线，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．
3．B
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断A；根据三角形的中线的定义及性质判断B、D；根据三角形的高的定义及性质判断C即可．
【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、三角形的三条中线总在三角形内部，说法正确，故此选项符合题意；
C、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误，故此选项不符合题意；
D、三角形的三条中线的交点一定在三角形内部，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，一个三角形有三条中线，这三条中线交于三角形内一点．
4．C
【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答．
【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；
三角形三条角平分线的交点在三角形内部；
三角形三条中线的交点在三角形内部；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部．
5．D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角形的中线可得，，，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
，
的面积等于，
，
即阴影部分图形面积等于，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
7．A
【分析】根据三角形重心的意义选择即可．
【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态，
∴这个点为三角形的重心，
由图可知点N为该三角形的重心．
故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键．
8．B
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的性质进行判断即可．
【详解】解：三角形的三条高所在直线交于一点，故①错误，三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，故②正确，直角三角形有三条高，故③错误，三角形三个内角的角平分线交于一点，故④正确，
正确的是②④，共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高、中线、角平分线的性质，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征逐个判断即可得到答案．
【详解】解：①由三角形内角和定理可知，若，则，解得，从而是直角三角形，即命题①是真命题；
②由三角形的平分线定义可知，三角形的角平分线是射线是假命题；
③由直角三角形三条高交于直角顶点上，从而三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外说法错误，是假命题；
④直角三角形的两条高分别是两条直角边，也只有一条高在三角形内部，从而如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形说法错误，是假命题；
综上所述，只有①说法正确，是真命题，
故选：A．
【点睛】本题考查命题真假，涉及直角三角形判定、三角形角平分线定义、三角形高的特征等知识，熟记相关性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可．
【详解】解：∵的面积为4，
∴边上的高为，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到的距离为2是解题的关键．
11．6或14
【分析】分点在线段上和在延长线上，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①当点在线段上时，
∵，
∴；
②当点在延长线上时，
则：；
综上：6或14；
故答案为：6或14．
【点睛】本题考查线段的和差计算．根据题意，正确的画出图形，是解题的关键．注意，分类讨论．
12．钝角
【分析】根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解题的关键．
13．
【分析】根据三角形中线的定义可得结论．
【详解】解：在中，是边上的中线，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中线：连接三角形顶点和它的对边中点的线段．掌握三角形中线的定义是解题的关键．
14．
【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题可知，点O是的重心，
∴，
如图所示，过点B作交AD的延长线与点G，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．
15．
【分析】阴影部分的面积等于大长方形的面积去掉三个直角三角形的面积．
【详解】解：
=4ab．
故答案为：4ab．
【点睛】本题考查运用割补法求阴影部分面积，解题关键是运用大长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
16．垂直的定义；；同角的余角相等；等量代换：内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义得到，可得，利用同角的余角相等得到，等量代换可知，最后根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵是的高．
∴（三角形高线的定义）．
∴（垂直的定义）．
∴（直角三角形两个锐角互余），
又∵（已知），
∴（同角的余角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，余角的性质，三角形高的定义，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
17．(1)见解析
(2)见解析；
【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解；
（2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，
依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意，
即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
18．(1)，，；
(2)见详解；
(3)5.5.
【分析】（1）根据坐标系写出A、B、C 三点的坐标即可；
（2）将A、B、C三个点分别向下平移2个单位，再向右平移4个单位长度，得到点，再顺次连接即可得到；
（3）利用割补法进行计算即可.
【详解】（1），，
（2）如图所示，即为所求.
（3）
∴ 面积的面积为5.5.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定、平移变换、以及利用网格求三角形面积，正确的作出平移后的点是解题的关键.
19．(1)图见解析，D的坐标为；
(2)．
【分析】（1）根据平移的性质确定出点D、E、F的位置，然后连线，根据图形写出D的坐标即可；
（2）用割补法求解即可．
【详解】（1）解：，如图所示：
D的坐标为；
（2）解：．
【点睛】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系点的坐标，割补法求图形的面积，正确作出图形是解答本题的关键．
20．(1)见解析；
(2)见解析；6；
(3)平行且相等；16．
【分析】（1）根据平移的性质得到对应点，依次连接即可得到三角形；
（2）过点C向的延长线作垂线，垂足为D，即可得到高，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据平移的性质和平行四边形面积公式求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：如图，高即为所求；
三角形的面积，
故答案为：6；
（3）解：由平移的性质可知，线段与的关系为平行且相等；
四边形的面积，
故答案为：平行且相等；16．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，解题关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)6
【分析】（1）根据题意画出和即可；
（2）作出中边上的中线即可；
（3）过点向的延长线作垂线，垂足为即可；
（4）直接利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，和即为所求；
（2）如图，线段即为所求；
（3）如图，线段即为所求；
（4）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
22．(1)；
(2)①；②或6
(3)24
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；
②延长交直线l于点，过点H作轴于点M，根据三角形面积公式解答即可；
（3）平移到，连接，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，，
解得：，，
∴；．
（2）解：①连接，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴点F在过点且平行于x轴的直线l上，
延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，如图2，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或，
∴或6；
（3）解：平移到，连接，则，，如图3，
四边形的面积的面积，
当时，的面积最大，
其最大值．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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