13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-02 10:23:55 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 13.1.2线段的垂直平分线的性质
同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．，，三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三条中线的交点处
B．三条边的垂直平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条角平分线的交点处
3．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点，且∠A=50°，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
4．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ）
A． B．和相互垂直平分
C．且 D．且平分
5．到三角形三个顶点距离相等的点是( )的交点．
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
6．下列命题错误的是（ ）
A．如果，那么点在线段的中垂线上
B．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
C．平移过程中对应点所连的线段平行
D．三角形内必有一点到三边的距离相等
7．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边上高的交点处
9．使用尺规作线段的垂直平分线的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弧①②的半径长一定相等 B．弧③④的半径长一定相等
C．弧②③的半径长一定相等 D．弧①的半径长大于长度的一半
10．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边 于点，则的周长为 ．
12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
13．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ．
15．如图，在中，分别以点A点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线，直线 与相交于点D，连接，若，，则周长为 ．
三、解答题
16．如图，直线与相交于点B，D是直线上一点，请用尺规求作一点E，使直线，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，与相交于点O，，，，连接，求证；垂直平分．
18．如图，在中，点是的中点，过点作交于点，连接．若的周长为，求的周长．
19．如图，在中，，点E、F在上，连接， 且．已知，试证明．
20．如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，，与相交于点F．
(1)请说明的理由．
(2)如果，说明的理由．
21．如图，在中，，．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段段的垂直平分线，分别与交于点D，与交于点E．
②过点B作垂直于，垂足为点F．
(2)直接写出线段，的数量关系．
22．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
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参考答案：
1．A
【分析】由题意可得，，则P在线段垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：∵，点P在线段上，
∴，
∴P在线段垂直平分线上，
结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．
2．B
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键．
3．A
【分析】连接，可利用垂直平分线的性质得到的值，进一步可求出∠BOC的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得：
又
故选：A
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点．掌握数学中的整体思想是解题关键．
4．D
【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题．
【详解】解：是由翻折得到，
，，
，平分，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型．
5．A
【分析】根据“线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可判断．
【详解】解：∵到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点在三条边的垂直平分线上，
即到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线判定的应用，解题的关键是线段的垂直平分线的判定定理．
6．C
【分析】根据中垂线的判定定理，全等三角形的判定，平移的性质，角平分线性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、如果，那么点在线段的中垂线上，则本选项说法正确，不符合题意；
B、如图，，和分别是和边上的中线，且，，
∵，，，
∴，
∴，
∵和分别是和边上的中线，，
∴，，
∴，
∴，则本选项说法正确，不符合题意；
C、平移后对应点所连的线段可能平行，也有可能在同一直线上，则故本选项说法错误，符合题意；
D、根据角平分线性质可知：三角形内一点到三边的距离相等的点是角平分线的交点，则本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查中垂线的判定定理，全等三角形的判定，平移的性质，角平分线性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
7．C
【分析】由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
8．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵中转仓到北京、石家庄、唐山三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在北京和石家庄连线的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在石家庄和唐山、北京和唐山的垂直平分线上，
∵中转仓到三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．C
【分析】根据作弧的方法理解判断即可．
【详解】解：如图，
∵垂直平分线段，
∴，，
∴弧①②的半径长一定相等，弧③④的半径长一定相等，且弧的半径长都要大于长度的一半，
而弧②③或①④的半径长不一定相等，
故选：C．
【点睛】此题考查了作图的方法：作线段的垂直平分线，熟练掌握基本的作图方法是解题的关键．
10．A
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，即可得出结论．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—基本作图：熟练掌握种基本作图是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
11．
【分析】根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长即可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
12．26
【分析】由是的垂直平分线得到，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为18，
，
的周长为：，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，是解题的关键．
13．
【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴三点共线，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
14．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长为．
【详解】∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．4
【分析】由作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可得出答案．
【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，
，
，，
的周长．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．见解析
【分析】以点D为顶点，为一边作一个角等于；作出的垂直平分线交直线于点E，点E即为所求．
【详解】解：如图，
点E即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解决此类题目的关键．
17．见解析
【分析】先证明得到，再由即可证明垂直平分．
【详解】证明：在和中，
，
，
又，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明得到是解题的关键．
18．的周长
【分析】先证明是线段的中垂线，可得．可得，再结合三角形的周长公式可得答案．
【详解】解：∵点是的中点，，
∴是线段的中垂线，
∴．
∵的周长为26，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解本题的关键．
19．证明见解析
【分析】如图所示，取中点G，连接，证明在线段的垂直平分线上，得到，进而证明得到，利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质分别求出的度数即可证明结论．
【详解】证明：如图所示，取中点G，连接，
∵，
∴在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在在中，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键．
20．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由同角的余角相等得证，根据求证；
（2）由全等得，进一步根据中垂线的性质定理判定．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练运用全等判定线段相等是解题的关键．
21．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①用尺规作图作出的垂直平分线，并按题中给出的交点字母注上即可；②用尺规作图过点作出垂直于，并注明垂足即可；
（2）由线段垂直平分线性质和垂直定义可以得出，从而得出线段，的数量关系．
【详解】（1）解：①分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点，，连接与交于点，与交于点．
②在与点不同侧取一点，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，；分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；作直线交的延长线于点．
（2）．理由如下：
点是的垂直平分线与的交点，
，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形的面积为10．
【分析】（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明，推出是线段的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
2．，，三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．三条中线的交点处
B．三条边的垂直平分线的交点处
C．三条高线的交点处
D．三条角平分线的交点处
3．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点，且∠A=50°，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
4．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（ ）
A． B．和相互垂直平分
C．且 D．且平分
5．到三角形三个顶点距离相等的点是( )的交点．
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
6．下列命题错误的是（ ）
A．如果，那么点在线段的中垂线上
B．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
C．平移过程中对应点所连的线段平行
D．三角形内必有一点到三边的距离相等
7．如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．北京、石家庄、唐山三地所在的位置如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到这三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边上高的交点处
9．使用尺规作线段的垂直平分线的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弧①②的半径长一定相等 B．弧③④的半径长一定相等
C．弧②③的半径长一定相等 D．弧①的半径长大于长度的一半
10．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边 于点，则的周长为 ．
12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为 ．
13．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ．
15．如图，在中，分别以点A点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线，直线 与相交于点D，连接，若，，则周长为 ．
三、解答题
16．如图，直线与相交于点B，D是直线上一点，请用尺规求作一点E，使直线，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，与相交于点O，，，，连接，求证；垂直平分．
18．如图，在中，点是的中点，过点作交于点，连接．若的周长为，求的周长．
19．如图，在中，，点E、F在上，连接， 且．已知，试证明．
20．如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，，与相交于点F．
(1)请说明的理由．
(2)如果，说明的理由．
21．如图，在中，，．
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作线段段的垂直平分线，分别与交于点D，与交于点E．
②过点B作垂直于，垂足为点F．
(2)直接写出线段，的数量关系．
22．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
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参考答案：
1．A
【分析】由题意可得，，则P在线段垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：∵，点P在线段上，
∴，
∴P在线段垂直平分线上，
结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．
2．B
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，正确理解题意是解题的关键．
3．A
【分析】连接，可利用垂直平分线的性质得到的值，进一步可求出∠BOC的度数．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得：
又
故选：A
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点．掌握数学中的整体思想是解题关键．
4．D
【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题．
【详解】解：是由翻折得到，
，，
，平分，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型．
5．A
【分析】根据“线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可判断．
【详解】解：∵到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点在三条边的垂直平分线上，
即到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线判定的应用，解题的关键是线段的垂直平分线的判定定理．
6．C
【分析】根据中垂线的判定定理，全等三角形的判定，平移的性质，角平分线性质逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、如果，那么点在线段的中垂线上，则本选项说法正确，不符合题意；
B、如图，，和分别是和边上的中线，且，，
∵，，，
∴，
∴，
∵和分别是和边上的中线，，
∴，，
∴，
∴，则本选项说法正确，不符合题意；
C、平移后对应点所连的线段可能平行，也有可能在同一直线上，则故本选项说法错误，符合题意；
D、根据角平分线性质可知：三角形内一点到三边的距离相等的点是角平分线的交点，则本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查中垂线的判定定理，全等三角形的判定，平移的性质，角平分线性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
7．C
【分析】由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
8．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵中转仓到北京、石家庄、唐山三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在北京和石家庄连线的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在石家庄和唐山、北京和唐山的垂直平分线上，
∵中转仓到三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．C
【分析】根据作弧的方法理解判断即可．
【详解】解：如图，
∵垂直平分线段，
∴，，
∴弧①②的半径长一定相等，弧③④的半径长一定相等，且弧的半径长都要大于长度的一半，
而弧②③或①④的半径长不一定相等，
故选：C．
【点睛】此题考查了作图的方法：作线段的垂直平分线，熟练掌握基本的作图方法是解题的关键．
10．A
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，即可得出结论．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—基本作图：熟练掌握种基本作图是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
11．
【分析】根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长即可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
12．26
【分析】由是的垂直平分线得到，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为18，
，
的周长为：，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，是解题的关键．
13．
【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴三点共线，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
14．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长为．
【详解】∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．4
【分析】由作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可得出答案．
【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，
，
，，
的周长．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．见解析
【分析】以点D为顶点，为一边作一个角等于；作出的垂直平分线交直线于点E，点E即为所求．
【详解】解：如图，
点E即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解决此类题目的关键．
17．见解析
【分析】先证明得到，再由即可证明垂直平分．
【详解】证明：在和中，
，
，
又，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明得到是解题的关键．
18．的周长
【分析】先证明是线段的中垂线，可得．可得，再结合三角形的周长公式可得答案．
【详解】解：∵点是的中点，，
∴是线段的中垂线，
∴．
∵的周长为26，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解本题的关键．
19．证明见解析
【分析】如图所示，取中点G，连接，证明在线段的垂直平分线上，得到，进而证明得到，利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质分别求出的度数即可证明结论．
【详解】证明：如图所示，取中点G，连接，
∵，
∴在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在在中，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键．
20．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由同角的余角相等得证，根据求证；
（2）由全等得，进一步根据中垂线的性质定理判定．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练运用全等判定线段相等是解题的关键．
21．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①用尺规作图作出的垂直平分线，并按题中给出的交点字母注上即可；②用尺规作图过点作出垂直于，并注明垂足即可；
（2）由线段垂直平分线性质和垂直定义可以得出，从而得出线段，的数量关系．
【详解】（1）解：①分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点，，连接与交于点，与交于点．
②在与点不同侧取一点，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，；分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；作直线交的延长线于点．
（2）．理由如下：
点是的垂直平分线与的交点，
，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形的面积为10．
【分析】（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明，推出是线段的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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