13.3.1 等腰三角形同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 13.3.1等腰三角形 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形最大角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，E是上一点，，垂直平分于点的周长为，，则的长为(　　)．

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
3．在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
5．在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，则这样的点C有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
8．如图，在中，，，过点D作，垂足为E，恰好是的平分线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
10．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，，其中，．关于点的位置，下列描述正确的是（ ）
A．在轴上 B．在第一象限 C．在第四象限 D．不能确定
二、填空题
11．在中，，，点在内部，若的面积为，且满足，则 ．
12．如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．

13．如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．
14．如图，在中，，的垂直平分线交于D，如果，，那么 cm．

15．如图，，点M，N在边上，，，点P是边上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是 ．

三、解答题
16．如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：．
17．如图所示，D为内一点，平分，， ，若，，
求：线段的长．

18．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．

19．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，的周长等于．

(1)求的长；
(2)若，，求的度数．
20．如图：中，，为边的中点，．

(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
21．如图，中，，垂足是D，平分，交于点E．在外有一点F，使．

(1)求证：；
(2)在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．求证：
①；
②平分．
22．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．

(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．
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参考答案：
1．B
【分析】根据垂直平分线的性质，，，再根据等边对等角的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，垂直平分，垂直平分，、交点F在上，
，，
，，
，
，
，
这个三角形最大角的度数是，
故选：B．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等．
2．C
【分析】根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴
又∵，于点，
∴(三线合一)，，
∵周长，，
∴，
∴，
∴
即，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
3．B
【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形．
【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到6个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
4．C
【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角，进而即可求解．
【详解】解：∵一个三角形中两个内角分别是和，
∴第三个角为，
根据等角对等边，可得这个三角形是等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，等腰三角形的判定，熟练掌握三角内角和定理是解题的关键．
5．C
【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、，能判定是等腰三角形，故本选项符合题意；
D、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形是解题的关键.
6．D
【分析】由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．
【详解】解：由题意可知：以、为腰的三角形有3个；
以、为腰的三角形有2个；
以、为腰的三角形有2个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
7．A
【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，
∴，
∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，
∴，
∴是等腰三角形，
∴甲、乙、丙都正确，
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图 圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．
8．C
【分析】先得出，再根据等腰三角形的判定得出，推出，进而得出，根据，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正确理解题意是解决问题的关键．
9．B
【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解．
【详解】解：连接PC，如图所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴的周长为，
若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长，
∴的周长最小值为；
故选B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键．
10．C
【分析】根据A、B、C三点的坐标可得，再由等腰直角三角形的定义得到，进而得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴轴，轴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在第四象限，
故选C．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元一次不等式组，等腰三角形的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．
【分析】过点作直线于，设，，证明， 得出，证明，得出，证明，根据的面积为，得出，求出结果即可．
【详解】解：如图，过点作直线于，
设，，
∴，
∵，
∴
，
，，
，
∴，
∴，
∵
，
∴，
在和中，
，
，
∴，
的面积为，
∴，
即，
∴，负值舍去．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，证明．
12．12
【分析】过D作，交延长线于N，证明，得到，由此求出，再根据，，证得，得到，利用等腰三角形的三线合一求出，即可求出．
【详解】过D作，交延长线于N，
∴
∵点是的中点，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，正确引出辅助线结合各性质进行推理论证是解题的关键．
13．3
【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数．
【详解】∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
由题图可知，平分，
∴，
∴，，
∴,，
∴是等腰三角形，，
∴是等腰三角形．
综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键．
14．
【分析】证明，由的垂直平分线交于D，，可得，而，，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵的垂直平分线交于D，，
∴，而，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线的性质与等角对等边是解本题的关键．
15．或或
【分析】考虑四种特殊位置，分别画出图形，求出对应x的值结合图形即可解决问题．
【详解】解：如图1中，当是等边三角形时满足条件，作于H．

在中，，
∵，
∴，
∴．
如图2中，当圆与只有一个交点时，时，，此时满足条件；

如图3中，如图当圆经过点O时，，此时满足条件的点P有2个．

如图4中，当圆与只有一个交点时，，

观察图3和图4可知：当时，满足条件，
综上所述，满足条件的x的值为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．见解析
【分析】根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
17．5
【分析】延长交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根据，，即可求出的长度．
【详解】解∶延长交于点E，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
18．见解析
【分析】先根据平行线的性质可得，从而可得和都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】，
，
和都是直角三角形，
，
，
在和中，，
．
∴
∵，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据的周长等于25，推得，即可求得；
（2）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角即可求得．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，的周长等于25，
∴，
∴．
（2）解：∵是的垂直平分线，，
∴，．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解；
（2）根据三角形面积公式，以及三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，D为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵D为边的中点，
∴．
【点睛】考查了等腰三角形的性质以及三角形面积，关键是熟悉等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明，得；
（2）①过E作于H，分别证明和是等腰直角三角形即可；②先证明，则有，即，再根据角平分线的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：
，即，
又，
在和中，
，
（2）①如图，过点E作于H，则是等腰直角三角形，
∵平分
∴是等腰直角三角形，

②∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴平分．
【点睛】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可，本题中有多个等腰直角三角形，利用角的和证明垂直的关系．
22．(1)，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；
（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数；
（3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立．
【详解】（1）．
理由：因为和是“同源三角形”，
所以，所以．
在和中，
所以．
所以．
（2）∵和是“同源三角形”，
∴．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；

（3）由（1）可知，
所以，．
因为，的中点分别为，，
所以．
在和中，
所以，
所以，．
又因为，
所以．
所以，所以是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
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