13.3.2 等边三角形同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 13.3.2等边三角形 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为等边三角形，点 D在线段上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．在下列结论中：
（1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等，则该三角形一定为（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形，但不一定为等边三角形
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等
6．如图，是等边三角形，D，E别是的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A．15 B．20 C．25 D．30
7．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，其中斜边的端点D在斜边的延长线上，相交于点F，则以下判断不正确的是（ ）

A．是等边三角形 B． C．CE=DE D．
8．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，交于点O，连接，若，则的度数为（ ）
A．120° B．102° C．150° D．124°
9．如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形，若，D是的中点，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．
10．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 ．

12．如图，在等边△ABC中，且，交于点P，则 ．

13．命题“三个角都是的三角形是等边三角形”是 （填“真”或“假”）命题．
14．如图，中，，，，动点在边上运动，将线段绕点逆时针旋转得，取的中点，当点从点开始向右运动到点时结束，则对应的点所经过的路线的长度为 ．

15．如图中，，在内依次作等边三角形，使一边在上，另一个顶点在边上，依次作出的等边三角形分别是第1个为，第2个为，第3个，…，则第100个等边三角形的边长为 ．

三、解答题
16．已知：如图，E是四边形的边上一点，且和都是等边三角形．请问吗？说明理由．

17．如图，和均为等边三角形．
(1)找出与全等的三角形（不需要说明理由）；
(2)若，求的度数．
18．如图，是等腰三角形，，点，在直线上，．

(1)求证：
(2)若线段，，，则线段的长度为__________．
19．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．

(1)如图1，若，判断的形状并说明理由；
(2)若，如图2，判断的形状，并说明理由．
20．如图1，等边与等边的顶点B，C，P三点在一条直线上，连接交于点，连结．

(1)求证：；
(2)求证：平分；
21．已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在射线上．．

(1)如图1，若点与点重合，求证：；
(2)如图2，若点在线段上，点在线段上，，求的值．
22．如图1，中，为锐角，以、为边作等边、，连接、交于点，则

(1)______；点到、的距离的数量关系是______．
(2)在（1）的结论下，连接，求证：
①平分；
②．
(3)应用：小明发现，根据上面结论，构造等边三角形可以实现将线段“转换”的效果（把转换为）于是，他帮助工程师的爸爸，解决了以下的实际问题．
如图2，在河（）附近有两个村庄，在河边找点建引水站，再在图中阴影部分找点，从而把水引入两村，请在图中找出点的位置，使全程管道（即）用料最少．
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参考答案：
1．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质解答即可.
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：C.
【点睛】本题考查了等边三角形的的性质和三角形的外角性质，熟知等边三角形的每个内角都等于是解题的关键.
2．D
【分析】根据点B与点C关于直线对称，连接，交于点N，当点P与点N重合时，取得最小值，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故平分，计算即可．
【详解】连接，交于点N，连接，如图，

∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，
∴点B与点C关于直线对称，，
∴，
∴，
当点P与点N重合时，取得最小值，
此时点N是三个内角角平分线的交点，
故平分，
故，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键．
3．C
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．
4．C
【分析】三角形的三条角平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等，由此可知三角形的三个内角相等，则三角形为等边三角形．
【详解】如图：

∵内的三条角平分线的交点D到三个顶点的距离相等，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴三角形为等边三角形；
故选：C
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5．B
【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：等腰三角形中有两边相等，是真命题，符合题意；
C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，全等三角形的判定，等边三角形的判定，等腰三角形的定义等等，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键．
6．A
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，由此可证明是等边三角形，得到，再根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵D，E别是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键．
7．D
【分析】过点D作，在上取点G，使，连接，证明，推出，，再证明，推出是等边三角形，即可证明是等边三角形，据此求解即可判断．
【详解】解：过点D作，在上取点G，使，连接，

∵和是两个全等的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，选项A成立，
∴，即是等腰三角形，则选项C也成立，
，
∴，，
∴，则选项B也成立，
∴没有条件能证明，故选项D不成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明是等边三角形是解题的关键．
8．A
【分析】根据已知条件证明，可得，由可得，再根据可得，求出，然后证明，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，判定，是等边三角形是解题的关键．
9．C
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，是的中点，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据作图的过程可判断①；根据角平分线的定义，等角对等边以及含30度的直角三角形的性质可判断②；继而根据垂直平分线的判定可判断③；根据三角形的面积的求法可判断④．
【详解】
解：∵，，
∴，
由图可知：是的平分线，故①正确，
∴，
∴，
∴，，故②正确，
∴点D在的中垂线上，故③正确；
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11．9
【分析】由三角形中线的性质可求出的面积，再求出的面积，进而可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵D是的的中点，
∴．
∵F是的的中点，
∴．
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：9．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
12．/60度
【分析】先由等边三角形的性质得出，，从而可证明，得到即可由求解．
【详解】解：是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质．熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．真
【分析】根据等边三角形的判定即可判断．
【详解】解：三个角都是的三角形是等边三角形，故该命题是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题考查命题与定理，等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键，
14．
【分析】如图，取的中点，连接，由题意得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，得，，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可．
【详解】如图所示：把绕点A逆时针旋转得，
取的中点，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得，
∴，，，
∴当点与点重合时，点与点重合时，是等边三角形；当点与点重合时，点在处，是等边三角形，
∴连接、两点，为点的运动路线，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查动点问题与几何的综合，旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，动点的运动轨迹．
15．/
【分析】根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第个等边三角形的边长等于，从而求解．
【详解】解：，，
，
，．
而为等边三角形，，
，则．
在中，，
同理得：，
∵，都是等边三角形，
∴，
∴，
依此类推，第个等边三角形的边长等于，
则第100个等边三角形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及解直角三角形，关键是归纳出边长的规律．
16．，见解析
【分析】由等边三角形的性质，证即可．
【详解】解：
理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，证明，从而可得结论；
（2）证明，而，可得，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】（1）解：，理由如下：
∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等边三角形的性质与全等三角形的判定方法是解本题的关键.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由是等腰三角形，，得到，由得到，即可证明，得到结论；
（2）由得到，则是等边三角形，则，又由得到线段的长度．
【详解】（1）证明：∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵，．
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)为等边三角形，理由见解析
(2)为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）证明，得到，根据，得到，即可得出结论；
（2）证明，得到，根据，得到，即可得出结论．
【详解】（1）为等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴和为等边三角形，
∴，，组合，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴为等边三角形，
（2）是等腰三角形；
理由如下：
∵，
∴，
即：．
∵，，
∴，
∴，又由得：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（等角对等边），
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可证即可求解；
（2）过点作交于点，过点作交于点，根据角平分线上的点到角两边距离相等证明即可．
【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点B，C，P三点在一条直线上，
∴ ，
∴
∴，，
∴，
∵等边，等边，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴．
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，

∵由（1）得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
【点睛】本题考查几何证明，涉及到全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，熟记概念是关键．
21．(1)见解析，
(2)12
【分析】（1）由等边三角形的性质证明再利用三角形的内角和定理求解从而可得结论；
（2）过点作交于点，先证明为等边三角形，再证明，可得从而可得，于是即可得答案．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴
∵为的中点，
∴平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点作交于点．

∵为等边三角形，，点是的中点，
∴．
∵，
∴．，
∴为等边三角形，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)，相等
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形内角和可求，由三角形面积公式可求，可求解；
（2）①由“”可证，可得，，可得结论；②由“”可证，可得，即可求解；
（3）以为边作等边，过点作，连接，作等边，连接交于点，连接，由（2）的结论可得，则当点，点，点三点共线，且垂直时，有最小值．
【详解】（1）解：∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过点作于E，于，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点到、的距离相等，
故答案为，相等；
（2）①在和中，
∴
∴
∴平分；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，以为边作等边，过点作，连接，作等边，连接交于点，连接，
由（2）的结论可得，
∴当点，点，点三点共线，且垂直时，有最小值．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
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