14.1.3 积的乘方同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 14.1.3积的乘方 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是( )
A． B． C． D．
4．下列图形能够直观地解释的是（ ）
A． B．
C． D．
5．我们学习的“幂的运算”有四种：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（　　）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
6．计算的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．下列计算：①；②；③；④；⑤；⑥其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．计算：＝（ ）
A．1 B． C．4 D．
10．已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（ ）
甲：；乙：；丙：
A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙
二、填空题
11．计算： ．
12．计算： ．
13．若a，b满足等式，则 ．
14．若，，则的值为 ．
15．已知，，，，，，，，，，，，，则
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．已知：，求的值．
18．一个正方体的棱长为，求它的底面周长和体积．
19．如果比的次数大1，那么的值是多少？
20．对于整数、定义运算：其中、为常数，如．
(1)填空：当，时， ______ ；
(2)若，，求的值．
21．著名数学教育家G 波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”． 这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①；
②；
③；
④；
⑤
……………
(1)等式⑥是___________．
(2)___________（n为正整数）．
(3)求的值．
22．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)计算＝_________，并说明理由；
(3)利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
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参考答案：
1．D
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】利用积的乘方即可求解．
【详解】解：原式；
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方运算法则：积的乘方等于积中每一个因式的乘方，是解题的关键．同时涉及幂的乘方运算．
4．A
【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可．
【详解】、 表示，故符合题意；
B、 表示，故不符合题意；
C、 表示，故符合题意；
D、 表示，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键．
5．B
【分析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘；积的乘方等于各因式乘方的积；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减，进而得出答案即可．
【详解】解：
（利用积的乘方得到），
（利用幂的乘方得到），
故运算过程中，运用了上述的运算中的③和④，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂除法，掌握相关运算法则是解题的关键．
6．C
【分析】根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．
7．A
【分析】利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则即可解答．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，熟练对应法则是解题的关键．
8．C
【分析】利用幂的乘方、积的乘方运算法则进行判断．
【详解】，故①②错误，③正确；
，，故④⑤错误；
逆用积的乘方运算法则，，故⑥正确．
故选：C
【点睛】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．
9．D
【分析】先利用乘法的交换律和结合律，再根据积的乘方的逆运算计算，即可求解．
【详解】解：原式
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，有理数乘法的交换律和结合律，熟练掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键．
10．D
【分析】将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，故甲正确；
∵，
∴，故乙正确；
∵，
，
又∵，
∴，
即，故丙正确；
综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，和同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，准确计算．
11．
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确进行计算．
12．
【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．
【分析】利用偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，，然后再利用积的乘方的逆运算，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质和积的乘方，解题关键是熟练运用非负数的性质求出，的值，准确运用积的乘方的逆运算求解．
14．36
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当，时，
．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．
【分析】根据题目中的数据，算出，从而可以得到即可得出最后结果．
【详解】解：，
又
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了立方根，积的乘方，明确题意、正确计算是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先计算有理数的乘方运算，然后计算乘除法即可；
（2）先计算同底数幂的乘法、积的乘方运算，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算及同底数幂的乘法、积的乘方运算及合并同类项法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
17．4
【分析】根据积的乘方法则的你运用，可构造出方程，求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用．熟练运用积的乘方运算法则是解题的关键．
18．底面周长为mm；它的体积为
【分析】根据正方体的周长和体积公式求出即可．
【详解】解：正方体的棱长为，
它的底面周长为（或12000），
它的体积为
．
【点睛】本题主要考查正方体的周长和体积，掌握正方体的相关公式是解题的关键．
19．1
【分析】根据积的乘方，幂的乘方、同底数幂相乘进行化简，再根据单项式的次数的概念列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：，
的次数为，
，
的次数为，
比的次数大1，
，
解得：．
【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方、同底数幂相乘，单项式的次数的概念，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）把相应的值代入进行运算即可；
（2）把相应的值代入运算求得，，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可．
【详解】（1）解：当，时，
，
故答案为：．
（2）解：，，
，，
整理得：，，解得：，，
．
【点睛】本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．(1)
(2)（n为正整数）
(3)11375
【分析】（1）根据所给式子可直接写出第⑥个式子；
（2）根据规律计算即可；
（3）根据前面式子的特点，通过变形可以求得计算出结果即可．
【详解】（1）观察规律可得等式⑥是，
故答案为：；
（2）
=
=（n为正整数）．
故答案为：（n为正整数）
（3）
=
=
=11375
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，探索出式子的一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．
22．(1)3，±2
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）由于，，根据“雅对”的定义可得，；
（2）设，，利用新定义得到，，根据同底数幂的乘法得到，然后根据“雅对”的定义得到，从而得到；
（3）设：，，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，±2；
（2）；
理由如下：
设，，则，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（3）设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即（m，n是正整数）．
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