14.2.1 平方差公式同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 14.2.1平方差公式 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　)
A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A．12 B． C．25 D．
5．已知，则M的个位数字为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．，，是三个连续的正整数，以为边长作正方形，分别以，为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（　　）
A．正方形比长方形的面积大1 B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大 D．正方形和长方形的面积关系无法确定
7．已知a，b，c是三个连续的正奇数，以b为边长作正方形，其面积为，分别以a，c为长和宽作长方形，其面积为，则（ ）
A．S1大 B．S2大 C．一样大 D．无法确定
8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，点分别在长方形的边上，点在上，若正方形的，面积等于，图中阴影部分的面积总和为，则正方形的面积等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简： ．
12．已知，则 ．
13．下列计算：①；②；③；④．其中错误的有 ．
14．如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为 ．

15．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，点E在上，大正方形与小正方形的面积差为80，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．运用乘法公式简便计算：．
18．计算：．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．已知的整数部分是，小数部分是．
(1)　　；　　；
(2)试求的值
21．（1）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a，b表示）；

（2）已知：，求的值；
（3）计算：．
22．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．

(1)如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．请直接用含，的代数式表示图1中阴影部分的面积__________，图2中阴影部分的面积__________；
(2)写出利用图1和图2的面积关系所揭示的因式分解的公式：_________________________；
(3)如图3，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为的大正方形，3块是边长都为的小正方形，7块是长为，宽为的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解两个二项一次式的乘积，那么这两个二项一次式分别是什么？
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参考答案：
1．D
【分析】根据合并同类项，多项式乘多项式的法则，平方差公式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．D
【分析】两个数的和乘以这两个数的差，得这两个数的平方的差，能用平方差公式计算的整式的特点是：两个数的和乘以这两个数的差，据此解答．
【详解】A、符合特点，能用平方差公式计算，不符合题意；
B、符合特点，能用平方差公式计算，不符合题意；
C、符合特点，能用平方差公式计算，不符合题意；
D、不符合特点，不能用平方差公式计算，只能用完全平方和公式计算，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查整式乘法的平方差计算公式的特点，熟记平方差计算公式是解题的关键．
3．C
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则以及平方差公式逐项判断即可．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法以及平方差公式，熟记公式，掌握相关运算法则是解答的关键．
4．A
【分析】根据平方差公式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
5．D
【分析】先计算出，先根据的个位数字每4个一循环，求出的个位数字为8，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，，，，……，
∴的个位数字每4个一循环，
∵，
∴的个位数字与的个位数字相同，
∴的个位数字为8，
∴的个位数字为7，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，数字规律探索，解题的关键是利用平方差公式求出．
6．A
【分析】设中间的数为，则，，根据求出正方形、长方形的面积即可比较．
【详解】解：设中间的数为，则，，
∴为边长作正方形的面积为，以为长和宽作长方形的面积为，
∴正方形比长方形的面积大，
故选B．
【点睛】此题主要考查乘法公式的应用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
7．A
【分析】分别用b表示a和c，再表示出，即可求解．
【详解】∵a，b，c是三个连续的正奇数，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．D
【分析】用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．
【详解】解：左图的计算方式为；图的计算方式为．
因此有，
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提．
9．A
【分析】设大、小正方形边长为，则，然后利用图中阴影部分的面积总和为，进而可得正方形的面积．
【详解】解：设大、小正方形边长为，
则有，阴影部分面积为：，
即，
可得，
即所求面积是．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．
10．A
【分析】分别用含、的式子表示出对应选项图形中的面积即可得到答案．
【详解】解：A．大正方形面积为，小正方形面积为，大正方形减去小正方形的面积为，两个长方形的面积之和为，可以验证，故A选项符合题意；
B．最大的正方形面积为，两个较小的正方形面积分别为、，两个长方形的面积之和为，不能验证，故B选项不符合题意；
C．最大的正方形面积为，两个较小的正方形面积分别为、，两个长方形的面积之和为，不能验证，故C选项不符合题意；
D．大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积为，不能验证，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方差公式与几何图形的应用，正确表示出对应选项图形中各部分的面积是解题的关键．
11．1
【分析】运用平方差公式计算即可．
【详解】
故答案为：1
【点睛】本题考查整式的乘法，运用平方差公式是解题的关键．
12．3
【分析】由平方差公式的变形可得,再整体代入进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是利用平方差公式的变形求解代数式的值，掌握“平方差公式的变形：”是解本题的关键．
13．①②④
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：①，故①计算错误；
②，故②计算错误；
③，故③计算正确；
④，故④计算错误；
∴错误的有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式：是解题的关键．
14．
【分析】左边第一个图的面积为边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，即，第二个图的面积为长为，宽为的长方形的面积，即，二者面积相等，据此即可得出结论．
【详解】解：由题意得，即验证了平方差公式．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何表示，解决本题的关键是一定要看清题意，找出两个图形的关系，根据面积相等得出平方差公式．
15．40
【分析】由题意可知，，，，再根据即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，大正方形与小正方形的面积差为80，
，，
，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，正方形和三角形的面积公式，掌握平方差公式是解题关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可得到答案；
（2）先由平方差公式分别计算，再根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查整式混合运算，涉及平方差公式的综合运用及多项式乘以多项式，熟记平方差公式及多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键．
17．
【分析】把原式变形后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了平方差公式，把原式变形为是解题的关键．
18．
【分析】先在算式前面添一项，则与后一项构成平方差公式，计算得出，再与后一项构成平方差公式，以此类推即可求解．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用以及添项使其变成平方差公式．
19．，
【分析】根据整式的混合运算的法则化简得到，再将，代入原式解答即可．
【详解】解：
；
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的法则，已知字母的值求代数式的值，掌握整式的混合运算的法则是解题的关键．
20．(1)4；-4
(2)+4
【分析】（1）先估算出的大小，然后可求得、的值；
（2）先求得的值，然后逆用积的乘方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
．
，．
故答案为：4；；
（2）
．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，积的乘方，逆用积的乘方公式是解题的关键．
21．（1）；（2）45；（3）
【分析】（1）利用两个面积相等列式即可得到乘法公式；
（2）利用所得平方差公式变形，代入计算即可；
（3）将算式乘以，再利用平方差公式逐步计算即可．
【详解】解：（1）图①中的阴影面积为，图②的面积为，
∵这两个面积相等，
．
故答案为：；
（2）∵，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据可求得，根据矩形的面积公式可求得．
（2）根据图1和图2中阴影面积相等的关系，可直接写出答案．
（3）根据长方形纸板的面积的不同计算方法列式即可得到答案．
【详解】（1）．
．
故答案为：
（2）图1和图2中阴影面积相等，则
．
故答案为：．
（3）根据长方形纸板的面积的不同计算方法，得
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查采用数形结合思想证明平方差公式，用代数式表示出图形中的等量关系是解题的关键．
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