14.2.2 完全平方公式同步练习题（含解析）

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人教版八年级数学上册 14.2.2完全平方公式 同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c均为常数，若，则的值为(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
5．若是完全平方式，则m的值为(　　)
A． B．或4 C． D．4
6．如果二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
7．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
8．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
9．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形铺成的正方形图案，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若用，（其中）表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则 ．
12．若，，则 ．
13．如图．长方形的周长是，以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是 ．
14．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
（1）的值为 ．
（2）化简的结果为 ．
（3）若的值大于13，则x的取值范围为 ．
15．某公园有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左边修一条宽为a米的长方形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示．用含a，b的代数式表示绿化的面积是 平方米（结果要化简）；

三、解答题
16．计算
(1)；
(2)
17．化简求值：，其中，．
18．已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若是一个完全平方式，求A的值．
19．利用因式分解计算：
(1)
(2)
20．如图，圆形钢板的直径为，从中挖去直径分别为与的两个圆，剩下钢板为图中阴影部分．

(1)用a，b的代数式表示剩下钢板的面积S（结果要化简）；
(2)若，，请你用乘法公式计算剩下钢板的面积．（π取3）
(3)若剩下钢板的面积与一个长为b的长方形的面积相等，则这个长方形的周长为______．
21．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式．
(1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）．
①；②；③；④
(2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式．
(3)若是完全平方式，求的值．
22．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
【拓展】
(2)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．
①______，______；（用含的式子表示）
②若阴影部分的面积为，求长方形的面积．
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参考答案：
1．C
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式分别计算即可得出答案．
【详解】解：A.，计算错误，故选项不符合题意；
B. ，计算错误，故选项不符合题意；
C. ，计算正确，故选项符合题意；
D. ，计算错误，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式，正确计算是解题的关键．
2．A
【分析】先将方程去括号化简，得到一个一元一次方程，求解一元一次方程即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题的关键，学会运用完全平方和平方差公式化简方程．
3．A
【分析】根据完全平方差公式及平方的非负性可得，将代数式化简为即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴代数式的最小值为；
故选．
【点睛】本题考查了代数式的最值，完全平方差公式，平方的非负性，掌握完全平方差公式是解题的关键．
4．B
【分析】利用完全平方公式对式子进行整理，从而可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．B
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
6．C
【分析】利用完全平方式的结构特征对照可得结果．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是解决问题的关键．
7．C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2 2xy=20，
∴62 2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
8．B
【分析】用，的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可．
【详解】解：由题意可得：阴影部分面积．
，，
，
阴影部分面积．
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的意义，适当的变形是解决问题的关键．
9．D
【分析】根据可得，再代入，化简即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵
，
∴的值是．
故选：D．
【点睛】本题考查求代数式的值，完全平分公式，整式的混合运算，运用了整体代入的方法．掌握整式的运算法则是解题的关键．
10．C
【分析】观察图形可得x、y之间的关系，可得答案．
【详解】解：由图可知：
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题运用了完全平方公式的知识点，还运用了数形结合的数学思想，掌握数形结合的思想是解题关键．
11．
【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．80
【分析】根据求出结果即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13．
【分析】设，根据题意可得，利用完全平方公式的变形求出即可得到答案．
【详解】解：设，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形的应用，正确推出是解题的关键．
14． 22
【分析】（1）根据新定义的运算直接计算即可；
（2）根据新定义的运算列式，然后利用整式的运算法则进行计算即可；
（3）根据新定义的运算得出不等式，解不等式可得答案．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：22；
（2）
，
故答案为：；
（3）∵的值大于13，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的运算，整式的运算，解一元一次不等式，正确理解新定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．
【分析】根据图形的面积之差列式：，再计算即可．
【详解】解：由题意可得：
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列出正确的运算式是解本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
17．，8
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式，积的乘方等计算法则计算，然后合并同类项，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
18．(1)
(2)3或27
【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可；
（2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）是一个完全平方式，
，
．
当时，；
当时，．
故所求的值为3或27．
【点睛】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键．
19．(1)4
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
20．(1)
(2)59706
(3)
【分析】（1）由圆面积的计算方法，用代数式表示各个部分面积，再根据图形中各个部分面积之间的关系得出结论；
（2）直接代入计算即可；
（3）根据面积相等，得出方程，求出长方形的宽即可求出其周长．
【详解】（1）解：根据题意可知，三个圆的半径分别为，，，
所以阴影部分的面积；
（2）解：阴影部分的面积，
当，时，
；
（3）设这个长方形的宽为，则，
，
长方形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
21．(1)①④
(2)①；④；
(3)．
【分析】（1）根据所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式解答即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则及完全平方式解答即可；
（3）根据完全平方式解答即可．
【详解】（1）解：∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得，
故①属于完全平方式，
∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得，
故②不属于完全平方式，
∵，对于一个整式如果不存在另一个整式，使得，
故③不属于完全平方式，
∵，对于一个整式如果存在另一个整式，使得，
故④属于完全平方式，
故答案为：①④；
（2）解：①；
②；
（3）解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方式，幂的乘方的运算法则，熟记完全平方公式是解题的关键．
22．(1)的值为
(2)①，；②长方形的面积为
【分析】（1）根据材料中的方法步骤进行求解即可；
（2）①边长减去即可得的值，边长减去即可得的值；
②设，，由阴影部分面积=正方形的面积正方形面积，代入，列出关系式按材料中的方法展开，求出的值即可得出答案．
【详解】（1）解：设，，
，，
，
的值为29．
（2）解：由题意得：，，
故答案为：，；
设，，则，
，
，
，
，
，
长方形的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值的问题，熟练掌握完全平方公式及读懂题意，正确计算是解题关键．
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